Du frågar om strategierna för både Saruman och Sauron
Saruman
Jag tror att din antagande är korrekt.
Han trodde att hans angrepp på Rohan skulle glädja Sauron. Glöm inte att det öppna angreppet började den 25 februari med Isens första strid. Det var en dag innan Merry och Pippin bortfördes, så Saruman skulle inte ha tänkt på den tiden som Sauron hade någon anledning att misstänka honom.25 (Feb) The Company pass the Argonath and camp at Parth Galen. First Battle of the Fords of Isen; Théodred son of Théoden slain.
26 (Feb) Breaking of the Fellowship. Death of Boromir; his horn is heard in Minas Tirith. Meriadoc and Peregrin captured. Frodo and Samwise enter the eastern Emyn Muil. Aragorn sets out in pursuit of the Orcs at evening. Éomer hears of the descent of the Orc-band from Emyn Muil.
The Lord of the Rings Appendix B, Section 2: The Third Age
Page 1092 (Houghton Mifflin Harcourt; Single Volume 50th Anniversary Edition)
Som den passage du citerade påpekar, hade Saruman ingen väg att veta om ringen var närvarande när orkerna dödades av Éomer och hans män. Så han skulle tro det möjligt att Éomer tog ringen, och hans bästa chans att hämta det var att attackera Rohan.
Sauron
Som jag nämnde började övergreppet på Rohan före bortförande av God och Pippin. Passagen citerade i frågan berättar att Sauron visste att två hobbits hade tagits mot Isengard (tack @Thibaut Demaerel för att påminna mig). Han kan misstänka att Saruman hade ringen (eller information om den) men han hade ingen anledning att tro att Rohirrim hade det, så han hade ingen anledning att berätta för Saruman att hålla sig på anfallet.
Det är inte klart om eller när Sauron lärde sig vad som hände. När allt kommer omkring släppte ingen av orkerna från Éomers attack. Det är möjligt att Saurons första misstanke om att ringen kan vara i Rohan var när Pippin såg ut i palantirien. Sauron tror att Pippin är med Saruman, och han berättar för Pippin att berätta för Saruman "det här härliga" är inte för honom. Pippin beskriver hans konversation med Sauron till Gandalf och de andra.
‘“ So you have come back? Why have you neglected to report for so long?”
‘I did not answer. He said: “Who are you?” I still did not answer, but it hurt me horribly; and he pressed me, so I said: “A hobbit.”
‘Then suddenly he seemed to see me, and he laughed at me. It was cruel. It was like being stabbed with knives. I struggled. But he said: “Wait a moment! We shall meet again soon. Tell Saruman that this dainty is not for him. I will send for it at once. Do you understand? Say just that!”
The Lord of the Rings Book Three, Chapter 11: The Palantír
Page 593 (Houghton Mifflin Harcourt; Single Volume 50th Anniversary Edition)
Nästa kommunikation med Saruman var via Nazgûl (förmodligen på väg att samla "den underbara") som Gandalf ser två dagar efter slaget vid Hjälms djup innan han släpper ut med Pippin till Minas Tirith.
5 (Mar) Théoden reaches Isengard at noon. Parley with Saruman in Orthanc. Winged Nazgûl passes over the camp at Dol Baran. Gandalf sets out with Peregrin for Minas Tirith. Frodo hides in sight of the Morannon, and leaves at dusk.
The Lord of the Rings Appendix B, Section 2: The Third Age
Page 1093 (Houghton Mifflin Harcourt; Single Volume 50th Anniversary Edition)