Jag kan berätta från min erfarenhet. Jag bokar alltid hotell från booking.com. Jag använder det för att göra mitt Schengen Visa hela tiden och jag har aldrig något problem med det. Att svara på din fråga.
Visaet kräver att du har alla hotellbok med bekräftelse på hotellet så om du reser till Italien så ja det måste komma från Italien. Du måste visa alla hotell bokade under din vistelse i Italien.
Om hela din familj måste ansöka om Visa, så måste din bekräftelse från hotellet ha alla namn, eftersom ansökan är separat för varje familjemedlem och inte som en grupp. När jag brukar göra var att jag ringde upp hotellet och bad dem att ge mig en bekräftelse att sätta mitt namn och min flickvän i bekräftelsen och jag använde det som bekräftelse och det fungerade. Jag fick inga problem med ambassaden men hotellet krävde full laddning innan de kan göra det så det var bra för mig.
Eftersom varje familjemedlem måste ansöka om visum separat tycker jag att det är bäst att kolla med ambassaden. Annars skulle jag vilja säga att du behöver bekräftelsen för var och en av familjemedlemmen.
Hoppas det hjälper. Vad jag föreslår är att ringa upp hotellet och be om bekräftelse för varje familjemedlem. Om du har betalat hela beloppet redan hotellet borde vara bra för att ge dig brevet. Annars skulle jag föreslå ändra hotellet.