Det finns inget i 5: e reglerna (åtminstone det jag är medveten om) som antingen tillåter eller förhindrar förvärv av ett icke-bekämpat, icke-magiskt djur.
Det betyder att om du kan få ett husdjur helt och hållet helt eller delvis upp till din DM.
Om det finns en balansproblem relaterad till att ha ett husdjur, skulle jag inte vara mycket orolig över det. Det kan ibland ge en mycket liten fördel (jag skulle kanske låta det ge fördel en gång om dagen om jag ville ha något uttryckligt mekaniskt för det), men i allmänhet kommer det inte att vara viktigt och det är bara ett smakämne för en karaktär.
Om du gjorde vill ha ett mekaniskt element till ett husdjur, skulle Find Familiar Spell vara ett bra ställe att leta efter för att få ett effektivt, effektivt djur som har något mekaniskt verktyg.
Sammanfattningsvis finns det ingenting i de regler som tillåter eller förhindrar detta, så kontakta din DM, men gör det med vetskap om att det förmodligen inte kommer att vara ett mekaniskt problem (speciellt om det stavas uttryckligen att det inte kan vara). Om det finns behov av mer mekanisk vikt, så hitta bekant är en bra modell.
På den mer generella sidan kan jag bara tala till 4e, men det hade ett tema som heter Animal Master som gav dig en djurkompis som i grund och botten bara var ett fåfängdjur med liten mekanisk fördel (du kan använda den för att vinna kamp fördel en gång per dag). Det var en minion, så inte mycket kamp effektiv och var mestadels en smakbit med en mindre fördel.