LOC förbjuder uttryckligen att få ett bibliotekskort som en souvenir. Så det striktaste svaret på din fråga är: Du kan inte.
Det är dock ganska lätt att fudge, om du är oärlig och säger att ditt avsedda syfte är att göra forskning. Eller, min föredragna metod: Egentligen spendera lite tid på att göra lite forskning! Jag spenderade en timme eller två för att undersöka George Washington medan jag var där, vilket var en intressant upplevelse (jag lärde mig mycket mer om LOC än jag gjorde om Mr Washington).
Den faktiska registreringsprocessen är ganska rakt framåt (detaljer här ). Jag tror att det tog mig ungefär en halvtimme, och jag var tvungen att fylla i några former (jag tror att jag skulle använda kortet för att utföra verklig forskning och inte som en souvenir).
Det var åtminstone så det fungerade för mig ungefär 3 år sedan när jag var där.