När det gäller Schengenreglerna spelar det ingen roll om: du kan alltid bevisa din rätt att vara i Schengenområdet genom att visa ditt slovakiska pass, eller genom att använda något annat sätt för att bevisa att du är medborgare i Slovakien, oavsett vilket dokument du brukade ange. Dessutom finns det ingen Schengen-omfattande databas över Schengengångar och utgångar där du kommer att få en "dangling" postpost på ditt AUS-pass.
På grund av avsaknaden av ett Schengenövergripande system kan varje lands eget system endast vara relativt meningslöst, eftersom det går att komma in och ut ur området genom olika länder. Det är därför osannolikt, men möjligt att det land du skrev in har en rekord över din post som australiensisk, men de kommer inte att kunna följa efter dig för det. Den mest sannolika konsekvensen av detta har problem med att komma in i Schengen i framtiden med ett australiskt pass. Alla sådana problem kan lösas genom att visa sig själv att vara en slovakisk medborgare och undviks helt av inte som presenterar sig som en australiensisk medborgare.
Det enda jag inte vet om är om du kan komma i trubbel under slovakisk lag för att ha använt ditt australiensiska pass. Jag vet att det finns en handfull europeiska länder som inte bryr sig mycket om detta, och jag känner inte till något som gör bryr sig om det, med undantag för Nederländerna , men jag vet verkligen inte hur det är i Slovakien.
Att du har olika namn i ditt pass kan orsaka problem i vissa sammanhang (som med flygbiljetter), men det är inte troligt att du gör det i det här sammanhanget. Passet identifierar båda dig med ett fotografi och biografisk information, och förmodligen även med biometrisk information. Du har en legitim anledning till varför namnen är olika. Tjänstemän i vissa länder kan ta undantag från de olika namnen, men det kommer inte troligen att hända i EU.
Invandringsbegränsningar och rättigheter, såsom EU: s rätt till fri rörlighet, tillämpas generellt på varje person, inte på det dokument som de skrev in. Vissa länder kan tillåta eller neka åtkomst till vissa rättigheter och privilegier utifrån det dokument du brukade komma in i landet, men det är inte fallet i EU eller i Australien.
Om du inte har kunnat hitta officiell information som du måste presentera dig som slovakisk medborgare till slovakiska myndigheter, betyder det självklart inte att ett sådant krav inte existerar. Men det innebär starkt att inget sådant krav är aktivt verkställt.
Slutligen kan du överväga att visa båda dina pass när du lämnar. Detta kommer att lösa eventuella frågor om namn som inte matchar flygbiljetter, och det kommer att göra det möjligt för slovakiska tjänstemän att göra vad de anser nödvändiga med eventuella dokument som de kan ha av ditt australiensiska pass, samtidigt som du bevisar din rätt att komma in, vistas i och lämna Slovakien och Schengenområdet och Europeiska unionen.