Om hon skulle säga det högt, skulle det ha blivit offentlig kunskap.
Först och främst kan det skapa panik bland vanliga medborgare, eller bildandet av en lynch mob eller så. Aes Sedai gillar inte att dra uppmärksamhet.
För det andra hoppas hon naturligtvis att fånga mannen för Aes Sedai, utan att Morgase eller någon annan interfererar. Hon vet inte att Moiraine redan har hittat honom, eller hon skulle troligen agera annorlunda. Hon tycker att hon har tid att spåra Rand senare. Hur hon skulle agera om hon visste Moiraine hade honom är bara spekulation; hon skulle antagligen ha konfronterat Moiraine och krävde att de tog Rand till tornet tillsammans.
Elaida kan inte veta att han är ta'veren, men hon kan misstänka det. Sensing ta'veren är en gåva, jag tror att Siuan Sanche har det men inte Elaida. Inte ens Moiraine kan säkert veta vem Rand kommer att bli vid denna tidpunkt, hon gör inte förrän händelserna i slutet av den första boken och fram till Rand möter Siuan i början av sekundet. I den första boken anser Moiraine att en av Rand, Mat och Perrin är den hon letade efter, men hon vet inte vilken.
När det gäller Elaidas motiv:
Even though Elaida has her own schemes and plots, she does remain loyal to the Aes Sedai cause throughout the books. So she has no ulterior motives beyond her own.
Also, Elaida had a previous Foretelling which told that the key to winning the Last Battle would be the throne of Andor. However, this Foretelling is more likely related to Rand's heritage being the son of Tigraine, which is revealed later, more so than House Trakand (which does also play an important part through Elayne).