Jag är inte medveten om några kanoniska skäl till varför han skulle eller skulle inte, så jag ska rita på vad vi vet om alverna, ringarna och de odödliga länderna. Jag tvivlar på att de skulle låta Gollum gå med i dem av tre huvudorsaker.
Hobbiterna var ett undantag
Fram till slutet av ROTK var Undying Lands i grunden uteslutande för älvor. Men, som Gandalf antydde, var Bilbo "menat" att ha Ringen, vilket innebar att Frodo var "menat" att få det (och i förlängning, Sam, som bär det ganska länge i boken). Men vem tänkte att detta skulle hända? Gandalfs ledtråd tycks leda oss att tro att någon annan kraft eller kraft samarbetade för att göra det så. Även om det inte uttryckligen anges, är det med anledning att säga att Eru själv ingrep och ledde Bilbo att hitta den. Det här är spekulation, men jag tycker att det är inom skälet, eftersom Gandalf har kunskap om många saker (och försökte inte bara prata med Frodo). Så, eftersom Hobbitsna valdes av Skaparen själv, fick de tillträde till de Undying Lands. Gollum skulle inte ha fått samma fördel.
Gollum var redan "sträckt för tunn"
Efter att ha förlorat ringen gjorde Bilbo knappt det. Gollum var mycket, mycket äldre och i mycket sämre form. Även om han gjorde det till hamnen, och även om han gjorde resan dör dödliga fortfarande i Undying Lands (märkligt nog). Det skulle bara inte vara praktiskt att fixa en exakt båt bara för att få honom dit innan han sparkade hinken.
Gollum var iboende ont
Jag tycker att detta är den viktigaste punkten. Lägg märke till hur när Smeagol först lade ögonen på ringen, ville han genast ha det. Inom stunden gav han sig till ringets inflytande och mördade Deagol. Detta är inte en egen "bra" person. Frodo, Sam och Bilbo behandlade alla ringen som en "dyrbar" sak, men ingen av dem dödade över den. Frodo kom nära, men det var då ringen gjorde sitt yttersta för att dominera sin vilja. Av denna anledning framför alla andra tror jag att älvorna skulle förneka honom asyl. Du kan till och med utöka denna logik för att förklara varför de Nio, Sju eller ens Sauron själv inte skulle få göra resan.
Återigen är det bara den bästa förklaringen jag kunde komma med på grundval av det etablerade läget.