Det finns några anledningar:

Sauron

• Sauron är verkligen rädd att hans motståndare när som helst kommer att använda One Ring och bli mycket kraftfullare. Han har för tillfället fördelen, men han kan förlora det när som helst, så han försöker denna blitzkrieg istället för en vanlig belägring.
• Mordors orker är för oisciplinerade för en längre belägring: förr eller senare skulle de börja kämpa mellan varandra (om de inte hade motståndare att slåss), vilket innebär att varje dag skulle minska hans truppers makt.
• Minas Tirith är en fästning, vilket innebär att den är beredd på en lång belägring med mat och vattenförsörjning (eller till och med inre källa). Hans enorma armé skulle ha allvarliga problem som ger logistiskt utbud.
• Han har en stor fördel av antal och makt, så han tror på en snabb seger.
• Att ta staden snabbt skulle ge honom chansen att besegra Gondor innan Rohan skulle få chans att svara.

Saruman

• Saruman är övertygad om kraften i sina nya Uruk orker och hans teknik. Han har också en listig plan att bryta Helm's Deep fortifications.
• Saruman vill förmodligen visa sig för Sauron, eventuellt för att bevisa att han inte skulle vara en ren tjänare men kanske någon med nästan lika makt.
• Det skulle se väldigt ont för honom om Sauron hade tagit Minas Tirith snabbt medan han fortfarande besegrade Hornburg.
• (Som påpekat av @ Scott) hade Saruman Éomer utflyttad, vilket kraftigt minskade antalet kavalleri i Rohans armé. Men förvirrad eller inte, kunde Saruman säkert anta att Éomer troligen skulle återvända (även utan Gandalfs vägledning) för att trakassera de besegrande orkerna. Så en snabb attack skulle ha kraftigt minskat försvararnas makt och Sarumans förluster.

Med andra ord har både Sauron och Saruman solida skäl till en snabb attack istället för en lång belägring.

För det första hade Sauron en blockeringskraft, den var upptagen i norr för att fånga upp någon lättnad från Rohan. Dessutom, för att han begick attacker på flera fronter, trodde han att han kunde förhindra någon koncentration av krafterna av de fria människorna, Dale och Lonely Mountain attackerades av påskling, lothlorien och Thranduils kungariket av styrkor från Misty Mountains och Dol Guldur.

För det andra har Tolkien sieger i Middle-Earth History, Angband var en, men den sista alliansen besegrade Barad-dur i sju år.

Anledningen till att Sauron inte kunde vänta var The Ring. Det mest troliga att hända med det är enligt hans uppfattning att någon av de fria folken skulle ta den och använda den för att utmana honom. Han var tvungen att slå hårt och snabbt för att förhindra att Ringenes Herre lärde sig hur man använder den och undergräver sin kontroll.

Saruman trodde att han hade ett knep som skulle göra en lång belägring onödig, Orthans sprängningsbrand

BTW, i boken är det Erkenbrand som "har uppror" mot Theoden, Eomer är fortfarande med Theoden i Meduseld.

För överfallet på Minas Tirith i synnerhet är de andra punkterna gjorda alla giltiga, men en avgörande plotpunkt missades: Aragorn avslöjade sig för Sauron via Palantir, som tvingade dennes hand. Sauron skulle ta mer tid att bygga en ostoppbar kraft som kommer att krossa Gondor och alla andra nationer i ett slag, men upptäcka om Aragorns existens och avsikt att ta upp tronen freaked honom tillräckligt för att attackera tidigt.

Denna punkt gjordes i den här andra frågan: Har Aragorn rört Palantir i boken?

Mer detaljer finns här:

Fighting at the battle of Helm's Deep, Andúril returns to war. After the destruction of Isengard, Gandalf gives Aragorn the Palantir of Orthanc. Aragorn uses it to challenge Sauron and force him to hasten his plans. Learning of Gondor's dire need through the Palantir, Aragorn takes the Paths of the Dead. Leading the Dead Men of Dunharrow to fulfill their oath to fight against Sauron, Aragorn overthrows the army gathering at Pelargir and sails in the captured fleet to the Battle of the Pelennor Fields. Here the Hosts of the West are victorious. Aragorn leads the surviving forces to a desperate battle before the Gates of Mordor to buy time for Frodo.

http://www.thetolkienwiki.org/wiki.cgi?Aragorn

En enkel sammanfattning: en belåning är ett försök att sänka stadens effektiva försvar för att minimera kostnaden för ett angrepp: du kan till och med få staden utan att starta detta angrepp. Så

En belåning är en handel med tid och pengar mot egna olyckor

Sauron och Saruman har orker som de kan skapa sig själva. De har stora siffror, full kontroll (ingen risk för uppror), för nästan inget pris. Men i båda fallen tryckte tiden. Handeln är inte värt det.

Som andra har sagt var orsaken till Saurons brådska förmodligen det faktum att någon annan kunde få tag i ringen.

Men också en viktig anledning till att besegra en fiende är att bevara dina truppers liv. Om de är välmattade medan människorna inuti gradvis svälter, vinner du med mycket mindre förlust av livet. Om du inte bryr dig om dina trupper, eller om du växte dem inte länge sedan , så är detta övervägande omtvistad. Ladda!

Troligtvis är den verkliga förklaringen, inte de rätta omständigheterna att vara dramatiska nog. Det har förekommit händelser närmare verkliga beleenden i Middle earth -historiken, till exempel Siege of Angband som varade 400 år.

Självklart skulle något sådant inte fungera för LOTRs tidsram. För in-universet kan argumentet om otipiplinerade orker vara lite meningsfullt eftersom det är den andra sidan som vanligtvis gjorde det besegrande.

Jo, ledsen för att jag berättade för den svåra sanningen, men jag tror att det är främst för att vi pratar om en bok, som behöver en viss rytm. Låt oss anta ett tag Minas Tirith skulle ha varit belejrad. De har inre vattenförsörjning, så den begränsande faktorn skulle vara mat. Att veta att krig skulle komma, det är troligt att riklig mat lagrades. Så hur skulle du skriva om det?

Month 3. Gandalf won the poker tournament. Again. Not bad, because half of the city now belongs to him, making him even more motivated to defend it. Bad news for Aragorn, though.

Month 5. Nothing new. Orks seem to be bored, too. Playing soccer with the head of one of their own again. Quite risky to take part. The loser's heads are used in the games to come.

Month 19. Nothing new. Hope that the others are well. But Frodo seems to have failed, otherwise Sauron would have been vanished by now. By the way: why didn't we ask the damn eagles wether they could fly the ring bearer with the damn ring to the damn mountain during a moonless night? Would have saved us a lot of trouble. Anyway, this is going to last. Only one third of the food was used. This is going to take a while...

Meh.