Det är inte klart ännu vad som är hans syfte bortom väggen, men vi vet några saker och därför kan vi spekulera.
Första och viktigaste: De vita vandrare skapades århundraden sedan före den långa natten av skogens barn som ett vapen för att slåss mot de första männen som kan ses i tv-servern.
För det andra: efter att de vita vandrare skapades måste både män och skogens skott slåss mot dem. De båda gjorde en allians och kunde besegra de vita vandrare (Azor Ahai legenden är från denna tidsperiod). Efter detta byggde de väggen och under en tid sköt Skogens barn till och med Night Watch med Dragon Glass i fallet med vandrare kom tillbaka.
Från detta kan vi spekulera på att den magi som skapade de vita vandrare gick fel och de vände sig mot alla i deras väg. De kan bara vara ett vapen som inte är i kontroll (det tror jag inte) eller de kan vara medvetna och vilja hämnas eller till och med vilja erövra Westeros.
Personligen tenderar jag att tro att hämnden skulle vara mer trovärdig eftersom sättet att Night King (den första Night Walker) skapades. Han var bara en man, förmodligen en soldat från de första männen som fångades av skogens barn.[EDIT]
Som kommenterades nedan byggdes väggen efter att Night King skapades. (The Night King är anledningen till att väggen byggdes)
Vi vet fortfarande inte hans mål, det är bara spekulation.