Jag är inte säker på att det finns en bra lösning här, det beror på om du vill maximera tiden eller minimera pengar. Heathrow är i fel riktning, lämnar påsarna kommer det att brinna mellan 90 minuter och några timmar samlar dem så jag tvivlar på att det är värt det.
Ärligt talat skulle jag överväga ett billigt hotell / B & B i området Euston eller Paddington. Du kan till och med nå ut till några av dem i förväg och förklara att du bara behöver någonstans att lämna bagage och duscha, de kan hjälpa till, det kan inte vara så ovanligt. Det ger dig också möjlighet att vila någonstans om du behöver det.
Det största problemet är att alla vänstra bagageplatser i stationerna (åtminstone järnvägsstationens del) drivs av samma företag och så laddar i stort sett samma priser - £ 10 per artikel / dag.
Att gå till Euston och lämna dina väskor skulle vara den uppenbara goda planen. Som nämnts i frågan och kommentarerna kan du använda loungen där eller duschar på Waverley (som nämnts, £ 5 per person).
Men Heathrow till Euston är inte så lätt en resa, om du tar kollektivtrafik TFL Journey Planner föreslår Heathrow Express till Paddington.
Men om du går via Paddington kan du också lämna dina väskor där (samma pris) och det finns duschar där, igen samma pris.
Eller du kan gå via Tube till St Pancras / Kings Cross vänster bagage är samma och det finns duschar på Kings Cross.
Observera att alla bagagetjänster stänger klockan 11, så du måste vara tillbaka dit i tillräckligt med tid.
Om bagagepriset är för brant är ditt andra alternativ Victoria Coach Station (som nämns i svar länkad i kommentarerna). Där bagage är £ 4 till £ 6 per väska. Jag kan inte hitta duschar i antingen järnvägsstationen eller tågstationen vid Victoria, men du har fortfarande möjlighet till Waverley eller Euston. Du kan få National Express Coach direkt till Victoria. Bagage stängs klockan 10:45 men du måste vara där förut för att göra det till Euston i tid.
Totalt beror det på hur mycket du vill spendera, hur mycket tid du vill ha gratis och hur mycket bagage du har.
Om pengar inte är något objekt, lämna Heathrow Express till Paddington, lämna påsar där (eventuellt dusch), få röret att gå och se några saker, gå tillbaka till Paddington innan vänster bagage stängs och ta en taxi till Euston. Men om jag gjorde det skulle jag vara väldigt frestad att kolla hotell nära det, det finns mycket inom gångavstånd som är väldigt billigt.
Billigste alternativet jag kan se (som inte bara bär dina väskor hela dagen) skulle vara National Express till Victoria.
Och förhoppningsvis allt ovan ger dig viss inblick i valet mellan dem.
Jag försöker tänka om det finns någon "out of the box" -lösning, men det flyr mig. Det kan finnas några resepaket du kan boka som skulle ta hand om bagaget - det skulle vara en fråga för ett resebyrå någonstans.