Tyvärr skulle detta inte fungera RAW
Med ditt citat (från Couatl statblokken, MM, s. 43):
Magic Weapons: The couatl's weapon attacks are magical.
Det sägs bara att vapentattackerna från couatl är magiska, så det skulle inte överföras till barbarerna med hjälp av en som ett improviserat vapen, eftersom couatl inte är den som gör attacken.
När det gäller "någon magisk varelse" är detta inte riktigt ett spelbegrepp, så det skulle vara svårt att bestämma hur det skulle fungera, men med tanke på att jag har kommit fram till att ovanstående (dvs. med magiska vapen) t jobba RAW, det här spelar nog ingen roll.
Som sagt kan någon DM styra annorlunda, och om din DM härskade att det skulle fungera, så är det bra. Jag tror inte att det skulle obalansera någonting eller orsaka några verkliga problem.
Som DM skulle jag verkligen bestämma att det här fungerar, bara för Regler som kul, men om barbaren inte hade ett magiskt vapen (hypotetiskt), använder jag det här som sitt nya magiska vapen jag antagligen skulle inte tillåta (jag skulle vilja säga något som hur couatlens magiska natur är en medfödd egendom som förloras strax efter att den dör eller något).