Nej, hans riktiga namn är Harry James Potter, inte Henry.

Det finns inga bevis för att hans riktiga namn är Henry. I hela boken kallas han alltid Harry. Och hans officiella O.W.L-resultat adresserar honom som Harry.

Harry James Potter has achieved

Harry Potter och Half Blood Prince, kapitel 5

Eftersom det här är ett officiellt dokument är det nästan säkert att det skulle använda sitt juridiska / officiella namn (vilket framgår av att hans mellannamn ingår). Så han heter bara Harry, inte Henry.

Som påpekats av ratchet freak i kommentarerna händer detta också under hans rättegång i Ordern av Phoenix.

It was a square silver badge with Harry Potter, Disciplinary Hearing on it.

Harry Potter och Phoenix-ordningen, kapitel 7

“You are Harry James Potter, of number four, Privet Drive, Little Whinging, Surrey?” Fudge said, glaring at Harry over the top of his parchment.

Harry Potter och Phoenix-ordningen, kapitel 8

En domstol skulle utan tvekan använda sitt officiella namn, snarare än ett smeknamn (återigen bevisas genom att hans mellannamn ingår).

Dumbledores sista testamente säger klart att det är Harry

“The Last Will and Testament of Albus Percival Wulfric Brian Dumbledore” … yes, here we are … “to Ronald Bilius Weasley, I leave my Deluminator, in the hope that he will remember me when he uses it.
“To Harry James Potter,”’ he read, and Harry’s insides contracted with a sudden excitement, ‘“I leave the Snitch he caught in his first Quidditch match at Hogwarts, as a reminder of the rewards of perseverance and skill.” Harry Potter and the Deathly Hallows, Chapter 7 (The Will of Albus Dumbledore)

Observera att Dumbledore lämnar delaminatorn till Ronald Bilius Weasley och snitchen till Harry James Potter

Härnäst har vi hörseln med en fin lång lista med fulla namn, varsel Harry kallas fortfarande bara Harry

“Disciplinary hearing of the twelfth of August,’ said Fudge in a ringing voice, and Percy began taking notes at once, ‘into offences committed under the Decree for the Reasonable Restriction of Underage Sorcery and the International Statute of Secrecy by Harry James Potter, resident at number four, Privet Drive, Little Whinging, Surrey.’ ‘Interrogators: Cornelius Oswald Fudge, Minister for Magic; Amelia Susan Bones, Head of the Department of Magical Law Enforcement; Dolores Jane Umbridge, Senior Undersecretary to the Minister.”
Harry Potter and the Order of the Phoenix, Chapter 8 (The Hearing)

Vidare, Familjeträdet på Pottermore stöder att det är Harry

Som du kan se från bilden nedan kommer Harry upp som Harry.

Medan Harrys farfar var en Henry Potter:

Henry Potter (Harry to his intimates)
Potter Family - Pottermore

Detta tyder på att han var infact "döpt" Harry.