Inte om det inte är mycket allvarligt.
De kan inte upptäcka när en Time Turner bara har använts används , eller det skulle vara mycket mer misstänksamhet om Hermione efter att Sirius hade rymt. Så jag tror att de inte kan upptäcka mindre överträdelser. Utan att granska varje användning av Time Turner måste den vara ett förtroendebaserat system. Eller hellre, lita på ökat med rädslan för konsekvenserna.
Stora skador är lättare att upptäcka. Till exempel berättar Pottermore historien om fru Mintumble, som reste tillbaka från 1899 och spenderade fem dagar i 1402. Hennes manipulering var så allvarlig, 25 personer var "ofödda" och tiden stördes allvarligt i nuet:
Finally, there were alarming signs, during the days following Madam Mintumble’s recovery, that time itself had been disturbed by such a serious breach of its laws. Tuesday following her reappearance lasted two and a half full days, whereas Thursday shot by in the space of four hours. The Ministry of Magic had a great deal of trouble in covering this up and since that time, the most stringent laws and penalties have been placed around those studying time travel.
Fru Mintumble i åldern femhundra år i processen och dog kort efter att ha återvänt till nutiden. Jag förväntar mig att det skulle skrämma någon som känner sig mer hänsynslös.
Och eventuellt större brott mot lagen skulle troligen orsaka liknande märkbara effekter på tiden i "nuvarande". Din lista över misstänkta är ganska små, och det skulle vara både detekterbart och straffbart. Det låter som Time Turners är ganska svåra att tillverka, så ministeriet monopoliserar effektivt beståndet (åtminstone i Storbritannien), alltså en kort misstänkt lista.