Varför kallar Elrond Mithrandir "Gandalf"?

Elrond använder inte bara "Gandalf" snarare än "Mithrandir". Galadriel kallar för honom "Gandalf":

"Gandalf the Grey set out with the Company, but he did not pass the borders of this land." (LotR II 7 - The Mirror of Galadriel)

Och Celeborn följer kostym i samma scen:

"If it were possible, one would say that at the last Gandalf fell from wisdom into folly" (ibid)

Lothloriens älvor använder "Mithrandir" när de sjunger i Sindarin:

Often they heard nearby Elvish voices singing, and knew that they were making songs of lamentation for his fall, for they caught his name among the sweet sad words that they could not understand. Mithrandir, Mithrandir sang the elves (ibid)

Detta bevis skulle stödja tanken att, som @Janus säger i kommentaren, Elverna använde "Mithrandir" när man talade i Sindarin och "Gandalf" när man använde Westron.

The old man was too quick for him. He sprang to his feet and leaped to the top of a large rock. There he stood, grown suddenly tall, towering above them. His hood and his grey rags were flung away. His white garments shone. He lifted his staff, and Gimli's axe leaped from his grasp and fell ringing on the ground. The sword of Aragorn, stiff in his motionless hand, blazed with a sudden fire. Legolas gave a great shout and shot an arrow high into the air: it vanished in a flash of flame.
'Mithrandir!' he cried. 'Mithrandir!'
'Well met, I say to you again, Legolas!' said the old man. (LotR III 5 - The White Rider)

I samma samtal lite senare, när han är lugnare, använder han "Gandalf":

"It would ease my heart, Gandalf, to hear what befell you in Moria." (ibid)

Och igen, när Gandalf kommer att bryta belägringen på Helm's Deep:

'Behold the White Rider!' cried Aragorn. 'Gandalf is come again!'
'Mithrandir, Mithrandir!' said Legolas. 'This is wizardry indeed!' (LotR III 7 - Helm's Deep)

Gandalf själv säger:

"Many are my names in many countries. Mithrandir among the Elves, Tharkûn to the Dwarves, Olórin I was in my youth in the West that is forgotten, in the South Incánus, in the North Gandalf; to the East I go not."

Så, älvarna använder namnet som de vet om de som kommer runt känner honom till. Om jag har en vän som heter James som bland mina vänner är känd som Sheamus men jag pratar med någon som jag vet känner honom som James så ska jag säga hur är James eller var är James. På samma sätt kallar Elverna honom Mithrandir på sitt eget språk eller när man pratar med människor som känner honom som sådan, men kommer att använda Gandalf när han pratar med dem som inte känner till honom.

När det gäller den andra delen av din fråga är Gandalf inte alls Elvish, så att vara en halv elva är verkligen inte orsaken. Faktum är att Gandalf är en Maia, som motsvarar en ängel, betjänade Middle-Earth versionen av gudar, Valaren, och skickades / kom till Mellanöstern för att bekämpa mörkets kraft. Bara älvorna vet sin sanna form.