Du vill ha ett bord som modellerar "stacked" sannolikheter.
Om chansen att ett enskilt försöks framgång är 40%, kan ditt bord se ut så här:
\ begin {array} {cc} n \ text {till framgång} & \ text {d} 100 \ text {roll} \\ \ hline 1 & 01-40 \\ 2 & 41-64 \\ 3 & 65-78 \\ 4 & 79-87 \\ 5 & 88-92 \\ 6 & 93-95 \\ 7 & 96-97 \\ 8 & 98 \\ 9 & 99 \\ 10 & 100 \\ \ End {array}
Men hur genererar du den här tabellen?
Med tanke på sannolikheten \ $ p \ $ för att lyckas vid ett visst försök ges sannolikheten för att lyckas på \ $ n ^ \ text {th} \ $ försöket med $$ P (n) = (1-p) ^ {n-1} \ cdot p $$För att lyckas med \ $ n ^ \ text {th} \ $ försök måste vi först misslyckas med en sannolikhet \ $ (1-p) \ $, \ $ n-1 \ $ gånger, då lyckas (med sannolikhet \ $ p \ $).
Således i exemplet ovan ser vi det \ Begin {align *} P (1) & = p = 0,4 \\ P (2) & = (1-p) \ cdot p = 0,24 \\ P (3) & = (1-p) ^ 2 \ cdot p \ ca0.14 \\ P (4) & = (1-p) ^ 3 \ cdot p \ ca 0,09 \\ \ Vdots \ quad & \ hspace {2cm} \ vdots \ End {align *}
Men för att stapla de sannolikheter som vi känner igen att "brytpunkterna" - det högsta antalet i varje percentilområde - ges av summan av alla sannolikheter upp till \ $ n ^ \ text {th} \ $. Lyckligtvis är detta bara en geometrisk serie: $$ \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} {(1-p) ^ i} = \ frac {1- (1-p) ^ n} {p} $$
Med detta i hand är det enkelt att generera en tabell med "brytpunkter" för någon given \ $ p \ $:
\ begin {array} {c | ccccccc} & \ text {d} 100 \ text {roll} \\ n \ text {till framgång} & p = 0,1 & p = 0,2 & p = 0,3 & p = 0,4 & p = 0,5 & p = 0,6 & p = 0,7 \\ \ hline 1 & 01-10 & 01-20 & 01-30 & 01-40 & 01-50 & 01-60 & 01-70 \\ 2 & 11-19 & 21-36 & 31-51 & 41-64 & 51-75 & 61-84 & 71-91 \\ 3 & 20-27 & 37-49 & 52-66 & 65-78 & 76-88 & 85-94 & 92-97 \\ 4 & 28-34 & 50-59 & 67-76 & 79-87 & 89-94 & 95-97 & 98-99 \\ \ hline 5 & 35-41 & 60-67 & 77-83 & 88-92 & 95-97 & 98-99 & 100 \\ 6 & 42-47 & 68-74 & 84-88 & 93-95 & 98 & 100 \\ 7 & 48-52 & 75-79 & 89-92 & 97-97 & 99 \\ 8 & 53-57 & 80-83 & 93-94 & 98 & 100 \\\ hline 9 & 58-61 & 84-87 & 95-96 & 99 & \\ 10 & 62-65 & 88-89 & 97 & 99 & \\ 11 & 66-69 & 90-91 & 98 & 100 & \\ 12 & 70-72 & 92-93 & 99 & & \\\ hline 13 & 73-75 & 94-95 & 99 & & \\ 14 & 76-77 & 96 & 99 & & \\ 15 & 78-79 & 96 & 100 & & \\ 16 & 80-81 & 97 & & & \\ \ vdots & \ vdots & \ Vdots \\ \ End {array}
Anmärkningar:
1. På några ställen visas samma singelnummer två gånger. ( p = 0,2, n = 14,15, till exempel.) I dessa fall rinner flera brytpunkter till samma procentvärde. Du kan slumpmässigt välja mellan n -värden om det här rullas, helt enkelt ta det lägre eller utforma något annat schema.
2. Självfallet finns det en sannolikhet som inte är noll, att framgången skulle ta längre tid än vad jag har angett, vilket slutar mina tabeller vid det första utseendet av ett avrundat till 100 procentvärde. Men genom konstruktion finns mindre än en 1/2% chans att någon n som är större än den senast presenterade kan uppstå. Jag kände mig bra att lämna den långa svansen från bordet.
