Nej

Med vissa bestämmelser.

För det första ger PHB på sidan 198 god inblick i monterad kamp. Det finns två avsnitt som jag vill uppmärksamma på:

While you're mounted, you have two options. You can either control the mount or allow it to act independently. Intelligent creatures, such as dragons, act independently.

För hushållsfästen, som täcker de flesta användningsfall:

[A controlled mount] has only three action options: Dash, Disengage, and Dodge.

Samma avsnitt ger regler för oberoende fästen. Detta tar upp Dragon-exemplet:

An independent mount retains its place in the initiative order. Bearing a rider puts no restrictions on the actions the mount can take, and it moves and acts as it wishes. It might flee from combat, rush to attack and devour a badly injured foe, or otherwise act against your wishes.

(betona min)

Således, en drake som används som en montering kan använda andningsattacken .
PHB innebär dock att draken, som uttryckligen anges som intelligent, skulle inte vara under spelarens kontroll för sin tur - det skulle styras av DM.
Trots att draken kan vara öppen för att ta förslag (som drakar tar sällan order ) och kan mycket väl överens om att en andningsattack skulle vara en bra idé, har spelaren inte det slutliga säget i vad draken gör eller gör inte på sin tur.