Ett möjligen överraskande resultat är att även flygplan som är så olika som en ödmjuk Cessna 152 och en Boeing 747, om de skulle kunna flyga samma hastighet under samma förhållanden, skulle använda samma svänghöjd. Flygplans hastighet och acceleration på grund av tyngdkraften är de enda faktorerna vid bestämning av svänghöjden. Detaljerad avledning av John S. Denker och by ERAUSpecialVFR (13:57 YouTube) ingår nedan.
Den exakta formeln för höjd över pylon är
$$ h = \ frac {v_ {air} \ cdot v_ {gnd}} {g} $$
där $ v_ {air} $ och $ v_ {gnd} $ är hastigheter i förhållande till luft och mark och $ g $ är acceleration på grund av jordens gravitation. Detta visar att den gemensamma approximationen av kvadrera markhastigheten är det speciella fallet för lugntid.
Om vi vill veta $ h $ i fötter, måste vi koppla byggnadsblocken, nämligen måttenheterna, på lämpligt sätt. Med tanke på att $ g $ är 32.17405 ft / s² (som går fort med 32-ish fot per sekund varje sekund), kommer kompatibel hastighet också att vara denominerade i ft / s . För att se varför kan du tänka på enheterna som avbrytande, som i
$$ \ frac {\ frac {\ textrm {ft} ^ 2} {\ textrm {s} ^ 2} \ ekviv v ^ 2} {\ frac {\ textrm {ft}} {\ textrm {s} ^ 2} \ equiv g} \ Rightarrow \ frac {\ textrm {ft} ^ 2} {\ textrm {s} ^ 2} \ cdot \ frac {\ textrm {s} 2} {\ textrm {ft}} \ Rightarrow \ textrm {ft} $$
Åtminstone i de flygplan som jag flyger visar lufthastighetsindikatorn knutar eller miles per timme. Omvandlingsfaktorn från knutar till fötter per sekund är $ \ frac {6 {,} 076} {3 {,} 600} $ eftersom det finns 6 076 fot i en nautisk mil och 3.600 sekunder per timme. För staty miles till fot per sekund är faktorn $ \ frac {5 {,} 280} {3 {,} 600} $ . Kom ihåg att formeln för svänghöjd har två hastighetsfaktorer, så vi måste kvadrata konverteringsfaktorn.
Vi hoppas slutligen på nämnaren, så använd reciprocals för ovanstående omvandlingsfaktorer för att få
$$ d_ {mph} = 32.17405 \ \ textrm {ft} / \ textrm {s} ^ 2 \ cdot \ Biggl (\ frac {3 {,} 600 \ textrm {s / hr}} {5 {,} 280 \ \ textrm {ft / SM}} \ Biggr) ^ 2 \ ca 14,9569 \ \ textrm {mph} ^ 2 / \ textrm {ft} $$
och
$$ d_ {kts} = 32.17405 \ \ textrm {ft} / \ textrm {s} ^ 2 \ cdot \ Biggl {\ frac {3 {,} 600 \ textrm {s / hr}} {6 {,} 076 \ \ textrm {ft / NM}} \ Biggr) ^ 2 \ ca 11.2947 \ \ textrm {knutar} ^ 2 / \ textrm {ft} $$
Ta reciprocals för att få klarare inblick i vad som händer. När det gäller knutar är $ \ frac {1} {11,3} $ cirka 0,0885 fot per knop knuten. Detta betyder ungefär samma som 9 fot per knopp som uppnåtts eller förlorats, per 100 knop (eftersom 9 ≈ 0,0885 × 100). På samma sätt för statut miles ändras den svängbara höjden med cirka 7 fot per mph luftväxling, per 100 mph flyger flygplanet. I båda fallen ges två flygplan där man flyger två gånger så fort som en annan, en lufthastighet som uppnåtts för snabbare kommer att ha dubbelt så stor effekt på sin svänghöjd i jämförelse med sin långsammare motpart.
5. Derivation of the Nifty Formula
We wish to derive the nifty formula for the altitude required during a turn on pylon in the presence of wind. We will be using the following quantities:
- $R$, horizontal position vector, from pylon to aircraft
- $h$, height above the base of the pylon
- $V_{Gnd}$, velocity relative to the ground
- $V_{Air}$, velocity relative to the air
- $W$, wind vector = constant, independent of time
- $a$, acceleration vector = derivative of $V_{Gnd}$
- or (equivalently) = derivative of $V_{Air}$
- $g$, acceleration of gravity
Assumption: We assume constant $\lvert V_{Air}\rvert$ i.e. constant airspeed.
The velocity relative to the air, $V_{Air}$, is perpendicular to $R$. That is, $$V_{Air} \cdot R = 0 \tag{4}\label{eq4}$$ This is required by the rules of the game. The heading is perpendicular to $R$ because the wing is pointing at the pylon, and the airspeed vector is parallel with the heading because we require coordinated flight (zero slip).
The acceleration $a$ is antiparallel to $R$. This is required by the rules of the game, since the wing is pointing at the pylon. That means the horizontal component of lift is pointing at the pylon. Meanwhile, all other forces add up to zero in accordance with the constant-airspeed assumption. Because $a$ is antiparallel to $R$, we have:
$$a \cdot R = −\lvert a\rvert \lvert R\rvert \tag{5}\label{eq5}$$
We will be interested in what happens to all these quantities after some time $\Delta t$ has passed. Time-stepping the equations of motion gives us: $$ \begin{align} \textrm{new}\ V_{Air} & = \textrm{old}\ V_{Air} + a\Delta t \ \textrm{new}\ R & = \textrm{old}\ R + V_{Gnd} \Delta t \end{align} \tag{6}\label{eq6} $$
Combining equation $\eqref{eq6}$ with equation $\eqref{eq4}$ gives us the time-delayed version of equation $\eqref{eq4}$:$$(V_{Air} + a \Delta t) \cdot (R + V_{Gnd} \Delta t) = 0 \tag{7}\label{eq7}$$
Multiplying out equation $\eqref{eq7}$ gives us: $$0 = V_{Air}\cdot R + a\cdot R\Delta t + V_{Gnd}\cdot V_{Air}\Delta t + a \cdot V_{Gnd}(\Delta t)^2 \tag{8}\label{eq8}$$ The first term vanishes in accordance with equation $\eqref{eq4}$. The second term reduces to $\lvert a\rvert \lvert R\rvert \Delta t$ because of equation $\eqref{eq5}$. The fourth term is negligible in the limit of small $\Delta t$.
Rearranging the remaining parts of equation $\eqref{eq8}$ gives $$\lvert a\rvert = \frac{V_{Air} \cdot V_{Gnd}}{\lvert R\rvert} \tag{9}\label{eq9}$$ This tells us the magnitude of the acceleration. The direction is antiparallel to $R$ as mentioned [elsewhere]. So now $a$ is fully determined, since we know its direction and magnitude.
As usual, when the aircraft is properly banked toward the pylon, the geometry of the situation is shown in figure 3 [shown below]. In this geometry, the law of similar triangles tells us $$\lvert a\rvert = \frac{h}{\lvert R\rvert} g \tag{10}\label{eq10}$$
Combining equation $\eqref{eq9}$ and equation $\eqref{eq10}$ gives us the nifty expression for the required height at any point during a turn on a pylon:$$h = \frac{V_{Air} \cdot V_{Gnd}}{g}\tag{11}\label{eq11}$$ You can readily verify that this reduces to the conventional expression for the pivotal altitude in the no-wind case.
Physics of Flight - Pivotal Altitude - Lesson 6 by ERAUSpecialVFR
Figure created with Khan Academy$\sum F_y = 0 \Rightarrow L \cos\theta = mg$
$\sum F_x = ma_c \Rightarrow L \sin\theta = \frac{mv^2}{R}$ (centripetal force)
$\frac{L\sin\theta}{L\cos\theta} = \frac{\frac{mv^2}{R}}{mg} \Rightarrow \tan\theta = \frac{v^2}{Rg}$
$\tan\theta = \frac{h}{R} = \frac{v^2}{Rg} \Rightarrow h = \frac{v^2}{g}$
$\therefore PA = \frac{GS^2}{g}$
$\begin{aligned} PA = \frac{GS^2}{g} &= \frac{\left[\left(1\frac{\textrm{nm}}{\textrm{hr}}\right)\left(\frac{1.15\ \textrm{sm}}{1\ \textrm{nm}}\right)\left(\frac{5{,}280\ \textrm{ft}}{1\ \textrm{sm}}\right)\left(\frac{1\ \textrm{hr}}{3{,}600\ \textrm{s}}\right)\right]^2}{32.2\ \textrm{ft}/\textrm{s}^2}{} \ &= \frac{(1.68)^2}{32.2} = \frac{2.845}{32.2} = \frac{1}{11.3} \ &\Rightarrow PA = \frac{GS^2}{11.3} \end{aligned}$
