Tja, det finns många lösningar på den första ekvationen. Vi måste bara hitta en som gör fysisk känsla. En av lösningarna till denna ekvation har uppenbarligen * formen:
$ \ gamma (\ theta) = 2 V_ \ infty \ alpha \ cdot \ frac {\ cos {\ theta} - \ cos {\ theta_0}} {\ sin {\ theta}} $
Välj nu ett värde för $ \ theta_0 $ som uppfyller Kutta villkoret . Den enda lösningen är $ \ theta_0 = \ pi $. Därför,
$ \ gamma (\ theta) = 2 V_ \ infty \ alfa \ cdot \ frac {1 + \ cos {\ theta}} {\ sin {\ theta}} $
Du kan kontrollera lösningen som ersätter $ \ gamma (\ theta) $ i den ursprungliga ekvationen. Identiteterna
- $ \ int_0 ^ \ pi \ frac {1} {\ cos {\ theta} - \ cos {\ theta_0}} d \ theta $ = 0
och - $ \ int_0 ^ \ pi \ frac {\ cos {\ theta}} {cos {\ teta} - \ cos {\ theta_0}} d \ theta = \ pi $
ska räcka för att göra kontrollen. Dessa integraler är inte det enklaste, så du behöver hitta dem i en bok med trigonometriska identiteter. Där visas den andra i den allmänna formen $ \ frac {1} {\ pi} \ cdot \ int_0 ^ \ pi \ frac {\ cos {n \ theta}} {cos {\ theta_0} - \ cos {\ theta}} d \ theta = - \ frac {\ sin {n \ theta_0}} {\ sin {\ theta_0}} $.
Om du vill ha en mer formell lösning, frågar jag på länken .
* Integrerande konstanter är enkla. Därför omvandlar jag uttrycket inuti integralet till en konstant. $ g (\ theta) * f (\ theta) = C_1 \ Rightarrow g (\ theta) = \ frac {C_1} {f (\ theta)} $. I detta fall $ f (\ theta) = \ frac {\ sin {\ theta}} {\ cos {\ theta} - \ cos {\ theta_0}} $