Revenge
Jag har inte läst böckerna, så jag kanske har fel på det här men här är det som är känt från showen.
Rob började marschera söderut med sin armé efter att Eddard var fångad och fängslad. Deras första mål var att frigöra Eddard. Men efter att Joffrey gav order att döda Eddard ville han hämnas mot Lannisters för hans faders död. Och kom också ihåg så långt som Robb visste, Lannisters är skyldiga för att förlamna sin bror Bran och försökte också döda honom efteråt.
Robb skickade sin mamma för att förhandla om en allians med Renly not Stannis, eftersom Renly den gången hade den största armén (av de rebellerande kungarna). Han bjöd henne att gå med honom när han träffade Stannis. Och vid det mötet föreslog Stannis en allians till henne på grund av Eddards lojalitet mot honom (eftersom Eddard insisterade på att Stannis är rättfull arving efter Robert).
Robb ville aldrig järntronen eller styra över de sju kungarikorna, bara Joffrey's head. Som han nämner också Talisa när han träffar henne för första gången (4:21). På grund av serien är det aldrig angivet att hans motiv ändras.