En Hex-vapen är inte automatiskt en bollfokus

Klassen Hex Warrior (XGtE, s. 55) säger:

Whenever you finish a long rest, you can touch one weapon that you are proficient with and that lacks the two-handed property. When you attack with that weapon, you can use your Charisma modifier, instead of Strength or Dexterity, for the attack and damage rolls. This benefit lasts until you finish a long rest. If you later gain the Pact of the Blade feature, this benefit extends to every pact weapon you conjure with that feature, no matter the weapon's type.

Någonstans nämns ingenting om vapnet som är ett bultigt fokus, så det är inte en.

Som du har noterat kan Eldritch-invokationen (XGtE, s. 57) med förbättrad paktvapen tillåta dig att använda ditt vapen som ett bultfokus eftersom det står:

You can use any weapon you summon with your Pact of the Blade feature as a spellcasting focus for your warlock spells.

Så du skulle behöva den här eldritch-invokationen för att använda ditt hex-vapen som ett arcanskt fokus. Men ditt sexvapen skulle också behöva vara ditt paktvapen, eftersom det står "med din Pact of the Blade-funktion", så du skulle behöva välja ditt sexvapen som det magiska vapnet du shuntar ut ur existensen och återuppta med Pact of Bladet, enligt PHB (s. 107):

You can transform one magic weapon into your pact weapon [...] You can then dismiss the weapon, shunting it into an extradimensional space, and it appears whenever you create your pact weapon thereafter.

Om du skulle välja ditt sexvapen som ditt paktvapen, så skulle det räknas som ett paktvapen för att tillfredsställa den förbättrade paktvapenens eldritch-invokation. På den tiden kan ditt hexvapen användas som ett bultfokus.