Regler som skrivet, nej
Flame Blade har en specifik åtgärd som använder en melee spell attack. Det är inte en attackåtgärd. En attack av möjlighet kräver bara en melee attack, inte angreppsåtgärden, så det diskvalificerar inte omedelbart det.
Vad diskvalificerar det är att stavningen specifikt kräver en åtgärd att använda (en reaktion är inte en åtgärd). Bladet är inte bokstavligen ett vapen, och det kan därför inte användas för flera angrepp eller tillfälleattacker. Det kräver specifikt en åtgärd för att göra en melee stavningsattack. Skälet kan vara att det kräver viss mental förmåga att koncentrera bladet eller hålla fast vid, men du använder inte din fysikaliska förmåga att använda den. Oavsett resonemanget var den inte avsedd att användas exakt som ett vapen används.
Jeremy Crawford håller också med
The intent is no.
Det bör noteras att du kan göra tillfälleattacker med andra vapen, förutsatt att du möter omständigheterna för det som ska inträffa. Svängning av flamsklingan hindrar dig inte från att göra AoO, du kan bara inte göra dem med flamsklingan.
Det är självklart att om din DM tillåter det, finns det ingen logisk global orsak till att du inte kunde svänga med det. Men 3d6 brandskador är en ganska kraftfull möjlighet attack.