Ja, ett amerikanskt pass (som ett annat EU / EES-pass) stämplas när du kommer in i Irland eller Storbritannien. Det kommer inte att finnas någon frimärke när du lämnar; Irland och Storbritannien har inte avgångskontroller. Men även om ditt resmål inte gav dig ett inträdesstämpel (som om du återvände till USA, eventuellt), är Schengens exit frimärke verkligen vad de ska leta efter, och du får det oavsett var du går till.
Förbered dig för lite grillar när du kommer in i Irland eller Storbritannien. "Jag är här för att komma runt invandringsrestriktioner, men jag lovar att jag ska gå om en vecka" är inte exakt vad en IO vill höra. Ta med dokumentation om allt, särskilt dokumentation för den absoluta säkerheten att du ska bli utfärdad bosatt visum.