Vi vet inte. Författarna avser att det är okänt. Förmodligen minst en enda.
I Döda månen säger doktorn att han inte vet hur många gånger han kan regenerera och att han mycket väl kan regenerera för alltid.
You'll have to spend a lot of time shooting me because I will keep on regenerating. In fact, I'm not entirely sure that I won't keep on regenerating for ever.
Och i helvetet Bent, (den näst senaste episoden vid det här svaret), vet Rassilon inte, men innebär att doktorn kommer att regenerera åtminstone en gång till. När han ska döda doktorn, säger han
How many regenerations did we grant you? I've got all night.
Författarna var tydligt mycket avsiktliga att fastställa att doktorn har ett okänt antal regenereringar.
Utställningen kommer aldrig att behöva hantera doktorns problem som löper ut ur regenerationer om inte en framtida författare vill göra en annan historia ur den. Men i alla fall kan vi vara säkra på att doktorn aldrig kommer att gå tom för regenerering så länge som showen fortsätter.