Nej, du faller inte till 0HP, faller omedvetet, och gör en misslyckad dödsbesparing.
När du är nedsatt till 0HP händer en av två saker: du blir medvetslös eller du dör genast. Det finns ingen "överdriven" skada att oroa sig för, undantag i den mån det gäller "instant death" -regeln.
Vi kan veta detta genom att gå tillbaka en sida tidigare:
A creature's current hit points can be any number from its hit point maximum down to zero....
Whenever a creature takes damage, that damage is subtracted from its hit points. (PHB p.196, "Hit Points")
Så låt oss överväga hypotetiken i din fråga: din karaktär hade 5hp, tar 6 skador, och det är också 0HP (enligt regel: nuvarande HP är ett icke-negativt tal). Mängden utöver vad som skulle ha satt henne vid 0HP är mindre än hennes max HP, så hon dör inte direkt. Men det finns inget "överskott" att oroa sig för: Alla 6 skadorna har redan hanterats, och resultatet var att slå hennes nuvarande HP till noll.
Hon är medvetslös och är nu utsatt för dödsbesparande kast, antingen från att ta mer skada eller från att starta varv vid 0HP.