Om du tillåter några förenklingar är svaret enkelt:
- Friktionsdrag påverkas inte av angreppsändringsvinkeln. Det betyder ingen inbrott av flödesskillnad på det tyngre flygplanet.
- Vingens optimala L / D nås med samma flikinställning i båda fallen.
- Lyft ändras linjärt med angreppsvinkel, så att höjningskoefficienten $ c_L $ kan uttryckas med produkten av höjdkurvan sluttning $ c_ {L \ alpha} $ och attackvinkel $ \ alpha $.
- Vi försummar det ändrade lyftbidraget för motorns dragkraft när angreppsvinkeln ökas.
Nu kan dra $ D $ uttryckas med denna ekvation: $ {{C_ {L \ alpha} \ cdot \ alpha} ^ 2} {cd} \ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} \ right) $$ Per definitionen ovan är termen $ c_ {D0} $ konstant, så förändringen i drag mellan ljusflygplanet (index 1) och det tyngre planet (index 2) kommer att vara $$ \ Delta D = \ frac {\ rho \ cdot v ^ 2} {2} \ cdot S \ cdot \ frac {c_ {L \ alpha} ^ 2 \ cdot \ left (\ alpha_2 ^ 2- \ alpha_1 ^ 2 \ right)} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} $$ För att uttrycka denna dragskillnad $ \ Delta D $ i förhållande till flygplanets massa skriver du höjningskoefficienten $ c_L $ som $ \ frac {2 \ cdot m \ cdot g} {\ rho \ cdot v ^ 2 \ cdot S } $: $ \ Delta D = \ frac {g \ cdot \ left (m_2 ^ 2-m_1 ^ 2 \ höger)} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} $$
De andra symbolerna är:
$ \ kärna {5mm} \ rho \: \: \: \: \: $ luftdensitet
$ \ kärna {5mm} v \: \: \: \: \: $ hastighet
$ \ kärna {5mm} S \: \: \: \: \: $ vingeytans yta
$ \ kärna {5mm} c_ {D0} \: $ nolllyftdragningskoefficient
$ \ kärna {5mm} \ pi \: \: \: \: \: $ 3.14159 $ \ prickar
$ \ core {5mm} AR \: \: $ bildformat för vingen
$ \ core {5mm} \ epsilon \: \: \: \: \: \: $ vingeens Oswald-faktor
$ \ core {5mm} g \: \: \: \: \; $ gravitationsacceleration
Nu kan vi svara på dina frågor:
How much more drag will it be?
Dragningen ökar med kvadraten av massökningen. Graden av ökningen beror på span loading av flygplanet.
what would be the exponent?
2
Is the aerodynamics in the design process optimised for "half-loaded" aircraft?
Nej, alltid för fullt lastade flygplan, eftersom lättare laster kan tolereras mycket bättre än högre belastningar. Eftersom bränsleförbränning kommer att orsaka en förändring i flygmassan över tiden måste aerodynamiken fungera över en rad höjder .
how does this translate to fuel consumption, say on 40000 feet with the usual speeds?
Drag kompenseras av dragkraft, så du behöver mer dragkraft för att övervinna det högre draget. Bränsleförbrukningen går upp linjärt, men eftersom kryssningen på 40.000 fot innebär att flygplanet är ljust och motorerna körs nära deras maximala tryckkraft är en massökning med 30% omöjlig. För ett praktiskt resultat skulle det tyngre flygplanet flyga i samma angrepps- och hastighetsvinkel men i en lägre höjd där både den ökade hissen och ökad motortryck kan tillhandahållas av högre luftdensitet.
Om du behöver beräkna resan bränslet vid olika vikter: Vi hade en liknande fråga innan, så var vänlig följ länken för en förklaring.