Schengenområdet (varav Frankrike ingår) och Irland är olika länder för gränsändamål.
Därför behöver du ett pass (eller nationellt ID-kort från ett EU / EFTA-land) för att lämna Frankrike och komma in i Irland - det måste presenteras för gränskontroll och även stämplat vid icke-EU / Efta-pass.
Belfast till Liverpool är en hushållsresa självklart, så ingen bestämd gränskontroll, men interna utländska kontroller är inte ovanliga, så det skulle vara bra att kunna bevisa att du inte är olagligt i Storbritannien.