Vi vet inte.
Citera från Tolkien Gateway (betona min):
The original language of the Hobbits is lost to history, as their specific origins. The earliest known historical location of the Hobbits is in the upper vales of Anduin and while there, they must have had some contact with the Éothéod, who lived in the same area. Thus the earliest known Hobbit-language must have been a northern Mannish tongue learned from the Éothéod.
För alla inspelade -historier har Hobbits levt mer eller mindre i kontakt med eller nära män och har antagit sina språk. En av de citat du nämner i din fråga berättar att det inte finns någon uppgift om hur Hobbits levde ursprungligen, eftersom den tiden är så länge sedan att historien har glömt det:
The beginning of Hobbits lies far back in the Elder Days that are now lost and forgotten.
-- The Lord of the Rings, Prologue
Och om du läser det noggrant, säger citatet du nämner i början av din fråga bara att det inte finns någon post av ett speciellt Hobbit-språk, inte att inget sådant språk någonsin fanns:
There is no record of any language peculiar to Hobbits. In ancient days they seem always to have used the languages of Men near whom, or among whom, they lived. Thus they quickly adopted the Common Speech after they entered Eriador, and by the time of their settlement at Bree they had already begun to forget their former tongue. This was evidently a Mannish language of the upper Anduin, akin to that of the Rohirrim; though the southern Stoors appear to have adopted a language related to Dunlendish before they came north to the Shire.
-- The Lord of The Rings, Appendix F, I: The Languages and People of the Third Age, section "On Hobbits"
Sammanfattningsvis: Hobbitsna hade förmodligen sitt eget språk vid något tillfälle, men det var länge glömt vid Tredjeårsåldern, då de använde samma språk som männen nära vilka de bodde eller hade en gång levde.