Förmodligen.
Uppgifterna för personal och kvartalstjänsten är olika i utrustningslistan. Under avsnittet Arcane Focus får du:
a specially constructed staff (p. 48).
Det här är tydligt annorlunda (och ganska dyrare) än en typisk kvartalspersonal (den bågliga fokusversionen kör 5gp mot 2sp för kvartstart). Så nej, en kvartstaff kan inte fördubbla en arcane foci-personal, eller tvärtom (åtminstone utan ytterligare förtydligande).
I avsnittet Druidic Focus får du
a staff drawn whole out of a living tree (p 151 PHB)
Druiden ligger mycket närmare naturen och använder ett druidiskt fokus i stället för en bulten. Vi ser att personalen för det druidiska fokuset har en mycket mer ... utilitaristisk beskrivning. Det finns inget här som gör det inte en kvartstav (även om det kan vara svårare än en typisk personal). Min gissning är att de flesta Druids skulle ha något problem att hantera sin personal som kvartsstav. Jag menar vem som ska argumentera med dig, du har en kvartsstav.
Det sista, det finns ett argument för att tillåta att implementera stavar som ska behandlas som kvartsstav under de förbättrade vapenreglerna på sid 46 av BD & D
In many cases, an improvised weapon is similar to an actual weapon and can be treated as such. For example, a table leg is akin to a club. At the DM’s option, a character proficient with a weapon can use a similar object as if it were that weapon and use his or her proficiency bonus.
Detta innebär att om din personal fokuserar liknar en kvartsstav (för ett visst värde liknar jag), då kan det behandlas som en och din kompetensbonus skulle gälla angrepp med den (och det jag får en d6 för skadan dö).