Du checkar alltid in med operatören av den första flygningen. I ditt fall skulle det vara British Airways. Detta gäller både för online incheckning, samt på flygplatsen / bagagefallen / etc.
Vad händer efter det kan variera.
Beroende på de berörda transportörerna, deras politik och deras datorsystem kan den första transportören ge dig ombordstigningspass för hela flygningen, eller de kan bara ge dig en eller några. Vilka flygningar de kan checka in för kan vara samma som på flygplatsen, eller de kan kanske checka in för ytterligare flygningar på (första) flygplatsen.
I vissa fall kan den första transportören inte checka in / ge dig ombordstigningspass för de efterföljande flygningarna, du kan eventuellt göra det online med operatören för den flygningen. Till exempel flög jag nyligen med United Airlines som ansluter till Oman Air. United kunde inte kontrollera mig för anslutningsflyget, men jag kunde göra det själv online (på Oman Air-webbplatsen) utan några problem.
I ditt specifika fall är alla flygbolag OneWorld-flygbolag, så det finns en bra chans att den ursprungliga transportören (BA) kan ge dig alla ombordstigningspass, men om inte, gå helt enkelt till överföringsdisken i antingen Helsingfors och / eller Osaka och de kommer att kunna ge dig ombordstigningskort för anslutningsflygningarna. Du kommer att kunna kontrollera dina väskor ända till din slutdestination, även om jag misstänker att du kommer att behöva samla dem i Osaka är din första punkt i Japan.