Antag att din familj är ukrainska medborgare; Den avgående flygningen lämnar samma dag eller nästa dag. du flyger till / från USA med giltiga visum, då ska du kvalificera dig för transitering utan visum.
Se Storbritanniens regeringens visumwebbplats för fullständiga detaljer.
Observera att din familj skulle kunna vägras in från gränsvakterna om de anser att det finns ett problem. Sättet att undvika det är att ansöka om visum innan de reser, men jag antar att du inte har tid för det nu.
Lycka till!