John Rennie sa faktiskt detta i sitt svar redan, men bara som en sidotot.
Den avgörande skillnaden att tänka på, IMO, är det mellan ett vektorutrymme (eller ett affineutrymme) och en grenrör. Det här är faktiskt ren matematik, men jag vågar ge en översikt här ändå.
Ett vektorutrymme är den typ av matematiskt utrymme som vi känner till; I ett sådant utrymme betyder "tredimensionell" att du kan välja vilken punkt som helst och beskriva platsen helt enkelt med bara 3 siffror: du behöver en konventionell grund av tre ortogonala 1 vektorer, och då säger du bara "gå 4" i riktning e x , sedan 7 'i riktning e y och slutligen 2 'i riktning e z . " Viktigt: Den här beskrivningen är unik, det vill säga när du har fixat din grund finns det inget annat alternativt sätt att beskriva den punkten. Det betyder att för att komma från en punkt till en annan måste du alltid resa det avståndet. Det finns inga kortslutningar, i den meningen att du alltid kan hitta den kortaste vägen genom att bara gå så staighly framåt som möjligt, nämligen i en rak linje.
En manifold är mer generell. Ett grenrör är lokalt ett vektorutrymme. Det vanliga exemplet är jordens yta: om du bara är intresserad av ett litet område kan du enkelt göra en karta över det, vilket är ett (avgränsat) 2-dimensionellt vektorutrymme. Jordytan som helhet är emellertid inte ett vektorutrymme, men en 2-sfär. Det är en mycket enkel mångfald: den grundläggande gruppen är trivial, vilket innebär att det fortfarande finns ett unikt kortaste sätt som kan hittas genom att gå så ordentligt som möjligt, dvs att man finner en sträng mellan de två punkterna på en jordklot. Det finns emellertid mer komplicerade grenrör, till exempel 2-torusen; Tänk på en muns yta. På så många sätt finns det flera topologiskt olika sätt att gå, och det går inte att, och det är inte möjligt att bestämma den kortaste vägen genom att dra en enda sträng. Nu kan det vara möjligt att man bara visste om en av de möjliga vägarna, och var helt förvånad över att det var en kortare väg hela tiden: en genväg.
Vad har detta att göra med dimensioner? Saken är, vi vet ganska säker på att "vårt normala" tredimensionella utrymme inte har några sådana notiviala topologiska egenskaper, så om det skulle finnas genvägar skulle de behöva vara inbäddade i ett högre dimensionellt utrymme som vi inte kan observera just nu. Det är "extra dimension".
1 Egentligen är linjärt oberoende tillräckligt.