Är denna ekvation för propellsträcka korrekt?

Från dimensionella överväganden och under antagandet att kraften $ P $ som appliceras på en propellern med diametern $ D $ rörande vid en axiell hastighet $ V $ omvandlas 100% till accelerationen av en massa av luft med densitet $ rho $, Jag har kommit till följande uttryck för drivkraften $ F $:

$ F = k (P · rho · V) ^ {1/2} · D $

där $ k $ är en icke-dimensionell konstant.

Är detta uttryck i princip korrekt? Jag redigerar nu för att inkludera under avledningen, lite lång ...

Vi har en propell med en diameter $ D $, som absorberar en effekt $ P $ vid rörelse vid en axiell hastighet $ V $ i luften av densitet $ \ rho $. Låt oss anta att det finns en funktion f så att propellorns drivkraft $ F $ är:

$ F = f (P, D, V, \ rho) $

Variablerna är drivkraften $ F $, dimensioner $ MLT ^ {- 2} $; Effekt $ P $, dimensioner $ ML ^ 2T ^ {- 3} $; prop diameter $ D $, dimensioner $ L $ och lufttäthet $ \ rho $, dimensioner $ ML ^ {- 3} $

Fem variabler är för mycket. Systemet kan inte lösas om vi inte har fyra, en beroende och en tree oberoende ... Så, i stället för $ V $ och $ D $ tar vi volymen $ W $ svepas av den roterande propellern i tidsenhet, dimensioner $ L ^ {3} T ^ {- 1} $

$ W = π / 4 · D ^ {2} · V $

Det finns en icke-dimensionell konstant $ k $ sådan som:

$ k = F ^ a \ cdot P ^ b \ cdot \ rho ^ c \ cdot W ^ d $ där $ a, b, c, d $ är siffror som ska bestämmas.

Byta till måtten:

$ M ^ 0 L ^ 0 T ^ 0 = (MLT ^ {- 2}) ^ a (ML ^ 2T ^ {- 3}) ^ b (ML ^ {- 3}) ^ c (L ^ 3 T ^ {- 1}) ^ d $

Då är systemet:

$ 0 = a + b + c \\ 0 = a + 2b -3c + 3d \\ 0 = -2a -3b-d $

$ F $ är den beroende variabeln, så vi gör a = 1

Lösning av systemet:

$ b = -1/2 \\ d = -1/2 \\ c = -1/2 $

Infoga i $ k = F ^ a \ cdot P ^ b \ cdot \ rho ^ c \ cdot W ^ d $ där $ a, b, c, d $ värdena på exponenterna och lösa för $ F $,

$ F = k \ cdot P ^ {1/2} \ cdot \ rho ^ {1/2} \ cdot W ^ {1/2} $

Men $ W = π / 4 · D ^ {2} · V $

Nu kan $ k $ absorbera konstanten π / 4, och vi får:

$ F = k \ cdot P ^ {1/2} \ cdot \ rho ^ {1/2} \ cdot V ^ {1/2} \ cdot D $