EDIT: Bara märkt att du sa att du inte tänker gå till en simbassäng men det är mitt första förslag. Du behöver inte simma eller något att använda anläggningarna, bara betala entréavgiften. Detta är förmodligen den billigaste och vanligaste duschanläggningen men jag har också andra förslag:
För Europa skulle jag gå mot vatten. Pooler är ganska vanliga att hitta och ingångsavgiften är billigt. Jag har aldrig sett en som inte hade duschar tillgängliga. Spa i Ungern har duschar och lite kostar lite för en vistelse under 3 timmar (du betalar ofta för dagen och får pengar tillbaka när du går ut under en viss tid). Island har termiska bad i nästan varje stad och har dusch. Förutom de stora turisterna som Blå lagunen är entrén inte dyr.
Nästa plats skulle vara längs stränder. Vissa erbjuder bara utomhusduschar vilket uppenbarligen inte är idealiskt för att tvätta helt, men i uppbyggda områden har det ibland små tjänstemän med privata duschar och skåp.
En idé som kommer att tänka är att gå till ett gym. Jag har aldrig försökt en i Europa men på många ställen kan de sälja dig en dagskurs för motsvarande ett par dollar. De kan till och med ha ett gratis pass för första gången besökare.