Om du vill ha en skriftlig avgörande på din fråga kan du gå till beskrivningen av Spell Slots (PHB p 201):
Some characters and monsters have special abilities that let them cast spells without using spell slots. For example, a monk who follows the Way of the Four Elements [...] can cast spells in such a way.
Så i ditt exempel spelar stavar med Shadow Arts-funktionen uttryckligen inte konsumtionsspår.
När det gäller Magic Initiate är den exakta ordalydelsen (betonar min):
Once you cast it, you must finish a long rest before you can cast it again.
Detta blir lite Clintonesque om du är rätt ålder, men "det" kan ha några definitioner:
- Alla instanser av den stavningen, som verkar vara hur du tolkar det
- Den stava du lärt dig genom feat Magic Initiate, men inte instanser av stavningen som förvärvats på annat sätt
- Stavning av stavningen på sin lägsta nivå utan förbrukning av en stavningsplats som gavs till dig av Magic Initiate-prestationen, men inte något annat sätt du kan ha av att ställa stavningen
Det finns inget jag kan hitta i texten som skulle indikera att den första definitionen är entydigt korrekt. Du kan självklart spela det men du vill, men den mer restriktiva tolkningen stöds inte mer av reglerna än den ena som ligger i linje med förmågaens uppenbara avsikt.