DM måste avgöra delar av detta.
What kind of action is it to pick it up? Does it take a whole action or can it be done as a "free object interaction"?
Den använder din fullständiga åtgärd. DM kommer sannolikt att kräva en styrka (Athletics) kontroll för att bära kroppen. PHB pg. 190 har exempel på saker du kan göra med din "fria" interaktion, och ingenting börjar till och med att närma sig att flytta en kropp. Faktum är att det tar en åtgärd bara för att sätta på en sköld som du redan bär, eller att ta ut ett andra vapen.
Can the PC move at full speed while carrying the body or are there any speed penalties?
Gripreglerna gäller lämpligt för detta. Skillnaden mellan en omedveten person och en död är en puls. Effektivt tillämpa greppregler. Så halv hastighet i bästa fall. Mer om du saknar styrka eller om din DM följer reglerna för begränsning.
Does the PC have any limitations to other actions while carrying the body? Can the PC carry the body on his shoulder so he still has both hands free to attack, etc.? Does the PC get disadvantage on attack rolls or anything while doing that?
Återigen skulle jag tillämpa gripregler eftersom du håller något. Det betyder att minst en hand är upptagen. När det gäller resten, om du är Encumbered, tillämpa bindningsregler. Dessa finns i PHB pg. 176; Variant Encumbrance.
Variant: Encumbrance The rules for lifting and carrying are intentionally simple. Here is a variant if you are looking for more detailed rules for determining how a character is hindered by the weight o f equipment. When you use this variant, ignore the Strength column of the Armor table in chapter 5. If you carry weight in excess of 5 times your Strength score, you are encumbered, which means your speed drops by 10 feet. If you carry weight in excess of 10 times your Strength score, up to your maximum carrying capacity, you are instead heavily encumbered, which means your speed drops by 20 feet and you have disadvantage on ability checks, attack rolls, and saving throws that use Strength, Dexterity, or Constitution.
Som sagt ovan är reglerna avsiktligt enkla. Du beskriver vad du gör, DM berättar vad han vill att du ska rulla. Det är i grunden den nedersta raden här.