Ja, apen kan klättra ett träd
Regler som skrivet (RAW), det är giltigt att läsa polymorfstavningen som begränsar vad vissa djur naturligt kan göra. Giant Eagle är till exempel en av de få djur som kan tala ett språk (det kan uttryckligen tala "Giant Eagle"). Men jag tror att det skulle vara giltigt att härska att en varelse som polymorfiserades i en jätteörn inte kunde prata det språket, eftersom stavningen säger "det kan inte tala".
Men eftersom stavningen inte på samma sätt säger att den "inte kan använda händer", har vi ett par smuthullar som gör att Giant Ape kan ta (mest) handlingar som det naturligtvis kan göra. Smutthålen är som följer.
1.) Klättring kräver inte "händer"
Polymorph säger att (fetstil läggs till betoning):
The creature is limited in the actions it can perform by the nature of its new form and it can't speak, cast spells, or take any other action that requires hands or speech.
Klättring kräver inte händer. Många varelser (som katter, ödlor och vissa fåglar som spett) klättrar upp utan dem, och det finns inget RAW som kräver att händerna ska vara fria eller användas vid klättring. Stavningen säger inte att varelsen inte kan använda händerna för någon åtgärd: Det står att det inte kan göra några åtgärder som "kräver händer " . Således kunde inte apen gripa ett varelse med sin handling (vilken RAW kräver användningen av "åtminstone en fri hand" [PHB, s. 195]), men kunde säkert klättra (vilket inte kräver händer enligt reglerna).
2.) Klättring är inte en "åtgärd:" det är en slags rörelse
Återigen anger polymorf:
The creature is limited in the actions it can perform by the nature of its new form and it can't speak, cast spells, or take any other action that requires hands or speech.
Reglerna om klättring kräver ingen åtgärd att klättra. De finns på sidan 182 i spelarens handbok, under avsnittet "Särskilda rörelser".
Det finns sorter av klättring som kräver en handling (som att klättra på en större varelse, DMG s. 271), men din fråga var specifikt om den enkla handlingen att klättra ett träd. Och även om klättring krävde en åtgärd skulle den första punkten (att den inte "kräver händer") göra det till en giltig sak för en polymorphad varelse i apa-form att göra.