Ingen regel förbjuder detta.
D & D 5e avgöranden tenderar att ta saker helt bokstavligen och direkt, och principen är att en regel säger exakt vad det säger och inte mer, om inte DM avgör något annat.
Producerar flamma säger att en flamma dyker upp i handen. Det säger inte att du inte heller kan ha ett vapen i handen, det beskrivs inte ett fast föremål som skulle förbjuda dig från att hålla ett vapen, och det säger inte att du inte heller kan hålla ett föremål din hand.
Allt det står är att det finns kvar under varaktigheten (10 minuter, eller tills flammen används för att göra en varierad attack, eller om du avfärdar den eller kasta stavningen igen). Att hålla ett vapen utlöser inte några av dessa villkor.
Därför slutar ingenting om att du håller ett vapen i samma hand som du håller flamma, om inte DM reglerar något annat (som det är deras prerogativ).