Ja, det kan du göra, och nej, det är inte nödvändigt att berätta för någon att du har gjort det.
En amerikansk Visa är bara relevant som ett inlämningsdokument - när du är i USA är det inte längre relevant, och det är din I94 (antingen fysiskt eller som de är i allmänhet nu, den relevanta posten på en dator) som dikterar din status i USA.
När du förnyar ditt pass förbli både ditt amerikanska visum (i det gamla passet) och din I94 aktuella fram till deras relevanta utgångsdatum.
Det finns ett potentiellt problem, vilket är det du har nämnt - din I94 avslutningsrekord (på det nya passet) kanske inte är korrekt knutet till din inmatningsrekord (på det gamla passet). I teorin kommer det aldrig att bli ett problem eftersom de automatiskt kopplar de två passen på grundval av dina personuppgifter och viktigast av allt baserat på dina fingeravtryck - men om det av en eller annan anledning inte hänt automatiskt skulle det vara en trivial övning att påpeka vad som inträffat och få dem att matcha relevanta inmatnings- och utgåningsregister tillsammans.
Personligen har jag förnyat mitt australiska pass två gånger i USA på visum, och jag har aldrig haft några problem med det, eller när jag senare lämnar / kommer in i USA vid framtida besök. Den enda skillnaden jag märkte var på första inträdet med det nya passet som de tog fingeravtryck från alla 10 fingrarna, istället för de 4 som de normalt tar när jag kommer in i landet. Enligt invandringsansvarig som gjorde den sista gången jag kom in med ett nytt pass, så var det så att de kunde bekräfta kopplingen mellan det gamla och nya passet.