En studentvisum i mer än 3 månader (som jag antar att du kommer att behöva delta i en fullständig term) är inte en Schengen-kortvisningsvisum utan en nationell visering för längre vistelser. De kallas ibland "Schengen-typ D-visum" men det är lite vilseledande eftersom de inte har förenats och de utfärdas inte utifrån Schengenreglerna. Det finns faktiskt hundratals olika D-visum, alla med lite olika regler.
Jag känner inte till reglerna i Tjeckien, men det är osannolikt att du kan förlänga en studentvisum om du inte tänker fortsätta dina studier i Tjeckien. För övrigt, i andra länder, utgår studentvisum i september, inte i juni, för att ge studenterna möjlighet att stanna kvar i landet fram till början av nästa term, men jag vet inte om det är så i tjeckien Republiken, särskilt för en relativt kort visum.
Att utöka visering är bara meningsfullt om premissen för din vistelse inte har förändrats, om du vill göra något annat behöver du en ny visum. Eftersom du inte har Schengenvisum, är det en ny visumansökan du behöver göra om du vill besöka Schengenområdet efter utgången av din studentvisum. Du måste ange i det land där du för närvarande bor (och jag tror att du borde kunna ansöka i Tjeckien under din tid där) men till land som kommer att vara ditt huvudmål.
Om du planerar att arbeta som en volontär någonstans, gäller definitivt det landet och ingen annan. Men gå inte dit för att ansöka, varifrån du är hos ett konsulat, innan in i landet. Vad du får om du lyckas är helt enkelt en ny visum (av olika slag), inte en förlängning.
Slutligen kräver en Schengenvisumansökan olika dokument, fråga om det nu för att kunna ta det du behöver till Tjeckien. Du kan sedan lämna in din ansökan från Tjeckien, ungefär tre månader före slutet av din tjeckiska visa / början av din vistelse i det andra landet.