Som rand al-thor har påpekat, finns det inga tydliga kanoniska bevis som förklarar när Dumbledore tamade Fawkes eller hans metodik. I Fantastiska djur och var att hitta dem: Volym 1 (2001), säger Augusta-myndigheten Newt Scamander att de är oerhört svåra att domesticera utan att utarbeta varför detta kan vara.
Det finns emellertid några punkter som tyder på ett svar på din fråga:
Scamander nämner att fenomen är extremt oskyldiga varelser (morgon dagg, solsken, regnbågar, gnistrar, Pinkie Pie, etc.).
, efter Harrys räddning av Fawkes, förklarar Dumbledore att fenomen är extremt lojala varelser, och "inget annat än [äkta lojalitet] kunde ha kallat Fawkes till dig".
Från detta kan vi fånga de fenomen som värderar oskuld och lockas till lojalitet. Jag förklarar att det är dessa två egenskaper, särskilt den senare, som Dumbledore hade i spader, som drog Fawkes till honom och uppmuntrade honom att stanna med honom tills Dumbledore gick bort.
Några exempel: Dumbledore observerade universum med en känsla av underrättelse och oskuld, t.ex. kallar döden "nästa stora äventyr" ( The Sorcerer's Stone ), letade alltid efter det bästa hos människor ( The Deathly Hallows ), gav människor en andra chans, till exempel Draco Malfoy, och var oerhört lojal mot de som han litade på, framförallt Snape. Faktum är att han fastnat av Snape genom tjock och tunn, var den enda personen som litade på honom och lät sin hjälp hjälpa till, även om det i slutändan orsakade hans död! Det var troligen denna djupt rotade kvalitet av lojalitet som "kallade Fawkes" till honom och kände av en slags släkting.
Spekulativ ja, men det bästa svaret jag kan ge dig.