Ja det gör det, men bara till en av skadorna.
Bemyndigad Evocation tillåter dig att lägga till din Intelligence Modifier till skada rollen av någon guiden evocation stava du kastar och Booming Blade är en evocation stavning, kvalificerar den för denna klass förmåga. Även, enligt PHB: erna :
Empowered Evocation (p. 117). “The damage roll” has been changed to “one damage roll".
Det anger emellertid inte vilken rulle den kommer att läggas till, så du kan välja vilken du ska lägga till bonusskadorna (jag föreslår inledningsrullen).