Vad är medel- och medianpoängen för attribut i Tunnel och Troll?

Navigera dina svar
4

Egenskaper för tecken i Tunnlar och Troll rullas enligt följande (i newish-utgåvor; jargongterm är TARO):

  • Rulla 3d6.
  • Om alla tärningarna matchar (du rullade en trippel), rulla en annan 3d6.
  • Fortsätt med steg 2 tills du inte längre får tripplar.
  • Summa alla tärningarna.

    • (Processen är för varje attribut, det finns ingen interaktion mellan dem.)

    Exempelrulle 1: Tärningsshow 3, 6, 6. Rullarna matchar inte så vi summerar dem för att få 15.

    Exempelrulle 2: Tärning ger 3, 3, 3. Eftersom tärningarna matchar rullar vi en annan 3d6 och råkar få 2, 2, 2. Resultatet är fortfarande en trippel så vi rullar en annan 3d6 och råkar få 2, 6, 4. Tärningarna är inte längre en trippel så vi summerar allt för ett resultat av 27.

    Vad är medelvärdet? Vad sägs om median?

        
    uppsättning Thanuir 09.01.2017 18:18

    2 svar

    5

    Detta kan approximeras, till godtyckligt djup, med olika metoder. Det är rimligt att trunka efter N-tiden 3d6 rullar - även om de är alla tredubblor - som sannolikheten för en fortsatt kombination (och därmed dess effekt på statistiken) blir mycket låg. Tekniskt kan vi utföra denna approximation eftersom sannolikheten multipliceras med en bråkdel mindre än en, medan resultatet av att få tur bara lägger till en begränsad mängd.

    Jag har beräknat resultaten av att göra detta för upp till 8 iterationer (dvs upp till 7 trefaldiga resultat plus en 8: e där vi ignorerar om det är ytterligare en trippel). Detta är en rimlig approximation, till exempel är det högsta möjliga resultatet ett attribut på 144, men det sker så sällan att det bara bidrar med 3 i 10 ^ 17 till medelvärdet.

    Här är en sammanfattning av resultaten:

    • Medel 10.800 (jämfört med 10,5 för omodifierad 3d6)

    • Median 11 (jämfört med 10,5 för omodifierad 3d6)

    Intressanta saker börjar bara hända när du tittar på de bästa percentilerna:

    • 95: e percentilen är en poäng på 16 jämfört med 15 omodifierade

    • Den 99: e percentilen är en poäng på 24 jämfört med 17 omodifierade

    • Den 99.9: e percentilen (1 i 1000 rullar) är en poäng på 32, jämfört med 18 omodifierade.

    • 99.99: e percentilen (1 i 10 000 rullar) är en poäng på 41.

    Så denna spelmekaniker är väldigt mycket som vanligt 3d6 med undantag för sällsynta lyckliga undantag, där det kan bli en stor boost.

    Som en bonus är det här en snabb graf för att jämföra T & T-versionen (i rött) med vanlig 3d6 (i gul):

    Dukanseattnågraavmultiplarnaav3harenlitenmängdsannolikhetrakad,vilketbalanserasavhögresannolikhetersenare(mestmärkbarvid"triple value" + 10 | 11) och en lång låg sannolikhet svans.

        
    svaret ges 09.01.2017 19:01
    3

    Det förväntade värdet för en standard 3d6-rulle är 21/2 och med TARO förväntan är 10,8, vilket är 10 + 4/5 .

    Jag presenterar ett icke-rigoröst argument nedan. Det strikta argumentet med samma idé är för länge för ett svar här; istället, se Förväntad egenskap i tunneller & Trolls karaktärsskapande, med generaliseringar (T. Brander) i tidskriften Matematik för applikationer , vol. 7, nr 2 (2018).

    Vi har en 1/36 chans att få tripplar, vilka (enligt förväntans linearitet, se detaljer nedan) ökar medelvärdet med ett annat medelvärde av 3d6 multiplicerat med 1/36; det får vi \ $ 21/2 + 21/2 \ cdot 1/36 \ $ .

    Men vi kan få tre gånger igen; det finns ytterligare 1/36 chans att detta händer och om det händer, lägger vi i genomsnitt 21/2. Fortsatt som förväntan är

    $$ \ mathbb {E} (\ text {TARO}) = \ frac {21} {2} + \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} { 36} + \ frac {21} {2} \ cdot \ left (\ frac {1} {36} \ right) ^ 2 + \ ldots. $$

    Det här är en geometrisk serie, så $$ \ mathbb {E} (\ text {TARO}) = \ frac {21} {2} \ cdot \ sum_ {j = 0} ^ \ infty \ left {1} {36} \ right) ^ j = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} {1-1 / 36}. $$

    Låt oss förenkla uttrycket: $$ \ mathbb {E} (\ text {TARO}) = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} {1-1 / 36} = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {1} {35/36} = \ frac {21} {2} \ cdot \ frac {36} {35} = 21 \ cdot \ frac {18} {35} = 3 \ cdot \ frac {18} {5} = \ frac {54} {5} = 10 + \ frac {4} {5}. $$

    Distributionsmedianen är 11. Medianen för standard 3d6-rull är {10, 11}. Eftersom DARO ökar resultaten kan medianen bara öka (eller förbli densamma). Om originalrullen var (3, 3, 3) ökar DARO den till minst 13; detta räcker för att garantera att medianen för DARO måste vara minst 11.

    För att få en övre gräns för medianen kan vi anta att varje trippel vi ursprungligen rullar ger oss det slutliga resultatet av oändligheten. Detta rör en sannolikhetsmassa på 6/216 bort till oändligheten. Sannolikheten att rulla exakt 11 är 27/216, så att flytta en massa på 6/216 kan inte flytta medianen bortom det. Därmed är median högst 11.

    Eftersom medianen är minst 11 och högst 11 måste den vara 11.

    Bilaga

    Med samma beräkning kan man räkna ut medelvärdet av rullande tärning med s sidor varje, och omdollera och lägga till så länge som alla nyrullade tärningar matchar. Medelvärdet är $$ (1-s ^ {1-n}) ^ {- 1} n (s + 1) / 2. $$

    Pluggar i tre för n och sex för s ger ovanstående resultat. Medelvärdet med DARO (dubbla överlappning, upplösningsmekanikern i spelet), som ignorerar automatiska fel, är följaktligen 8,4 eller 42/5, betydligt större än genomsnittet av 7 med en typisk 2d6-rulle.

        
    svaret ges 12.01.2017 07:11

    Läs andra frågor om taggar Kärlek och kompatibilitet Skor Gear 12 Stjärntecken Grunderna

    Var Kylo Ren Manipulerar Snoke? Varför tog det Carlton hela episoden för att inse att han var jungfru?