Derivat av formler

Först kommer jag att härleda en formel som visar hur man beräknar sannolikhet för att få ett antal framgångar för en standard d6 och för d6 med tillagd första eller andra förmåga. Låt kalla \ $ p (X = k) \ $ sannolikheten att få \ $ k \ $ framgångar med en d6. \ $ pa (X = k) \ $ och \ $ pb (X = k) \ $ är sannolikheten att få \ $ k \ $ framgångar med tillagd första eller andra förmåga.

Sannolikheter \ $ p (X = k) \ $:

• \ $ p (X = 0) = \ frac {3} {6} = \ frac {1} {2} \ $ som vi måste rulla 1,2 eller 3 på d6.
• \ $ p (X = 1) = \ frac {2} {6} + \ frac {1} {6} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {5} {12} \ $ eftersom vi kan rulla en vanlig framgång (4 eller 5) eller få en exploderande 6 med en uppföljnings miss (1,2 eller 3).
• \ $ p (X = 2) = \ frac {1} {6} \ cdot p (X = 1) = \ frac {5} {72} \ $ som vi behöver den första tärningen för att explodera säkert Efter det är vi i situationen att vi vill rulla en annan framgång med en d6, så multiplicera med \ $ p (X = 1) \ $.
• \ $ p (X = n + 1) = \ frac {1} {6} \ cdot p (X = n) \ $ eftersom vi kan använda samma argument för allt högre antal framgångar.

Om vi använder denna formel för att beräkna sannolikheterna får vi följande värden:

\ begin {array} {r | ccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ p (X) & 50,0 \% & 41,7 \% & 6,9 \% & 1,2 \% & 0,2 \% \\ \ End {array}

Sannolikheter \ $ pa (X = k) \ $:

• \ $ pa (X = 0) = \ frac {2} {6} = \ frac {1} {3} \ $ som vi måste rulla 1 eller 2 på d6.
• \ $ pa (X = 1) = \ frac {3} {6} + \ frac {1} {6} \ cdot \ frac {2} {6} = \ frac {5} {9} \ $ eftersom vi kan rulla en vanlig framgång (3, 4 eller 5) eller få en exploderande 6 med en uppföljningsfel (1 eller 2).
• \ $ pa (X = 2) = \ frac {1} {6} \ cdot p (X = 1) = \ $ som vi behöver den första tärningen att explodera säkert, efter det är vi i den situation som vi vill rulla en annan framgång med en d6, så multiplicera med \ $ pa (X = 1) \ $.
• \ $ pa (X = n + 1) = \ frac {1} {6} \ cdot pa (X = n) \ $ eftersom vi kan använda samma argument för allt högre antal framgångar.

Om vi använder denna formel för att beräkna sannolikheterna får vi följande värden:

\ begin {array} {r | ccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ pa (X) & 33,3 \% & 55,6 \% & 9,3 \% & 1,5 \% & 0,3 \% \\ \ End {array}

Förutsättningar \ $ pb (X = k) \ $:

• \ $ pb (X = 0) = \ frac {3} {6} = \ frac {1} {2} \ $ som vi måste rulla 1,2 eller 3 på d6.
• \ $ pb (X = 1) = \ frac {1} {6} + \ frac {2} {6} \ cdot \ frac {3} {6} = \ frac {1} {3} \ $ eftersom vi kan rulla en standard framgång (endast 4) eller få en exploderande 5 eller 6 med en uppföljnings miss (1,2 eller 3).
• \ $ pb (X = 2) = \ frac {2} {6} \ cdot \ frac {2} {6} + \ frac {2} {6} \ cdot \ frac {1} {6} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {5} {36} \ $ som vi behöver den första tärningen att explodera säkert, efter det är vi i situationen att vi måste rulla en annan framgång med en d6, så multiplicera med \ $ p (X = 1) \ $.
• \ $ pb (X = n + 1) = pb (X = 2) \ cdot p (X = n-1) \ $ eftersom vi kan använda samma argument för allt högre antal framgångar.

Om vi använder denna formel för att beräkna sannolikheterna får vi följande värden:

\ begin {array} {r | ccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ pb (X) & 50,0 \% & 33,3 \% & 13,9 \% & 2,3 \% & 0,4 \% \\ \ End {array}

Barchart med sannolikheter för \ $ p (X = k) \ $, \ $ pa (X = k) \ $ och \ $ pb (X = k) \ $

Förväntatvärdeochstandardavvikelse

Omviberäknarförväntatvärdeellermedelvärdetavträffarfårvi

• \$E[p(X=k)]=0,6\$
• \$E[pa(X=k)]=0,8\$
• \$E[pb(X=k)]=0,7\$

Standardavvikelsenellerdistributionenavträffarär

• \$S[p(X=k)]=0,04\$
• \$S[pa(X=k)]=0,06\$
• \$S[pb(X=k)]=0,04\$

Dicepools

Härärenbarchartförendicepoolavsextärningar:

Nu ser du tydligt att maximalen för \ $ pa \ $ är för \ $ k = 5 \ $ framgångar - nära \ $ 4.8 = 0.8 \ cdot 6 \ $ - var som maximum för \ $ pb \ $ är för \ $ k = 4 \ $ framgångar - nära \ $ 4.2 = 0.7 \ cdot 6 \ $. Den första förmågan har alltid en lägre sannolikhet för ett lägre antal framgångar och alltid en högre sannolikhet för fler framgångar som den andra förmågan. Om du går till extremt antal framgångar som 10+ har den andra förmågan något bättre chanser som den andra förmågan, men som sannolikheten är under 1% kan det inte hända mer.

Kort svar

Jag tror att formeln för de förväntade framgångarna är detta:

\ begin {align} E & = n \ cdot \ frac {3d - t - 2e + 1} {e-1}, & \ text {where} & 1 ≤ t ≤ e ≤ d \ End {align}

Medan variansen kan vara detta (ej testad):

\ begin {align}     V = n \ cdot \ vänster (\ frac {d-t + 1} {d-1} - \ frac {(et) ^ 2- (d-e + 1) ^ 2} }\höger) \ End {align} Här är vad alla variabler betyder:

• \ $ d \ $ ... antal sidor en enda dö har (i Shadowrun \ $ d = 6 \ $ - vi rullar vanliga gamla sexsidiga tärningar)

• \ $ n \ $ ... antal sådana tärningar i poolen (vanligtvis \ $ n = Attribut + Skicklighet \ $ i Shadowrun)

• \ $ e \ $ ... minsta roll för en dö att explodera (\ $ e = 6 \ $ i Shadowrun - endast 6 exploderar)

• \ $ t \ $ ... minsta roll för en framgång (\ $ t = 5 \ $ i Shadowrun - 5 och 6 är framgångar)

• \ $ h \ $ ... antal träffar, dvs tärningar med ett resultat \ $ ≥t \ $ i rullningen (behövs inte här)

Det är också bra att känna medelspridningen (från variansen), för att du också vill veta om det fortfarande är en vanlig förekomst att jag inte vet 12 framgångar på en rulle med bara 16 tärningar, eller om 8 träffar är redan mycket osannolikt. Dvs. med en lägre explosionsgräns blir högre träffvärden mer sannolika. Förväntningsvärdet kan dock mycket likna det för en lägre träffgräns \ $ t \ $ vid högre explosionsgräns \ $ e \ $.

Matematiken bakom

Exploderar endast på 6:

Om du vill ha formuleringar trodde jag att jag skulle kunna ge en kort sammanfattning av min fråga om exploderande dammpooler och dess svar. Du kan visa formlerna nedan för att vara sanna för sannolikheter för exakt \ $ h \ $ träffar, förväntningsvärdena för träffar \ $ E \ $ och deras variationer \ $ V \ $:

\ begin {align} p ^ \ text {icke-exp} _ {d, n, t, h} & = binom {n} {h} \ vänster (\ frac {d-t + 1} {d} \ right) ^ h \ vänster (1- \ frac {d-t + 1} {d} \ right) ^ {nh} \\ E ^ \ text {non-exp} _ {d, n, t} & = n \ \ frac {d-t + 1} {d} \\ V ^ \ text {non-exp} _ {d, n, t} och = n \ \ frac {(d-1) (d-t + 1)} {d ^ 2} \\ % p ^ \ text {exp} _ {d, n, t, h} & = = frac {(t-1) ^ n} {d ^ {n + h}} \ sum_ {k = 0} ^ {\ max (h, n)} \ binom {n} {k} \ binom {n + hk-1} {hk} \ vänster [\ frac {d (dt)} {t-1} \ right] ^ k \\ E ^ \ text {exp} _ {d, n, t} & = n \ \ frac {d-t + 1} {d-1} \\ V ^ \ text {exp} _ {d, n, t} & = n \ \ frac {t \, (d-t + 1)} {(d-1) ^ 2} \\ \ End {align}

idéer för bevis finns på mattexchange. Nu antar det att tärningen bara exploderar vid maximal rulle av 6 i ditt fall. Så det kan inte berätta någonting om rullar där tärningen exploderar t.ex. på 5 och 6. Förutom det står det att en roll av en sexsidig där 1 och 2 inte är några framgångar, 3 och 4 är framgångar utan omkastning och 5 och 6 är framgångar med explosion lika med en rulle med 3-sidig tärning där 1 inte är en framgång, 2 är en framgång utan att rulla igen och 6 är en exploderande framgång.

Jag har sammanställt en liten webbsida (användbart för Shadowrun eller oWoD) för detta och testat det med en simulering :

Arbiterings explosionsgränser:

$$ E_1 = 0 \ cdot \ frac {t-1} {d} + 1 \ cdot \ frac {2d-te} {d} + (E_1 + 1) \ cdot \ frac {de-1} { d} $$

Noll framgångar med en sannolikhet \ $ \ frac {t-1} {d} \ $, på framgång och inga explosioner med en sannolikhet för \ $ \ frac {2d-te} {d} \ $ och i fallet med exploderande tärningar har vi en sannolikhet att \ $ \ frac {de-1} {d} \ $ för att få \ $ E_1 \ $ fler framgångar.

Det här kan lösas för \ $ E_1 \ $. Nu är förväntningsvärdet för \ $ n \ $ tärning bara \ $ n \ $ gånger det för en tärning (\ $ E = n E_1 \ $):

\ begin {align} E & = n \ cdot \ frac {3d - t - 2e + 1} {e-1}, & \ text {where} & 1 ≤ t ≤ e ≤ d \ End {align}

Observera att medan formlerna för exploderande på högsta värde testas grundligt, Jag testade inte ovanstående formel .