Den bästa bankvinkeln är verkligen 45 °.

Det kan relativt enkelt visas som det ger den snävare vridningen för konstant angreppsvinkel , där vi antar att konstant angreppsvinkel resulterar i konstant vinkel av nedstigning också. Det skulle vara ganska svårt att visa för konstant fart, och det kanske inte ens är exakt sant i det fallet.

Men kan inte verkligen separeras från bästa hastighet. Och det överraskande svaret är att hastigheten stall (som är ~ 19% ($ \ sqrt [4] {2} $) högre än i rakt flyg) ger minsta höjdförlust för vridning av givet antal grader.

Anledningen är att dragningen (nära stallhastigheten) är proportionell mot $ \ frac {1} {v} $, men svängradiusen är proportionell mot $ v ^ 2 $, så när du saktar ner radie minskar snabbare, då dra (och därmed vertikal hastighet) ökar.

Referenser:

• länk
• Är det även möjligt att återställa ett enda motorflygplan med motorfel?

Det finns ingen allmän lösning, åtminstone utan ytterligare antaganden.

Vad jag har hittills

• Problemet beror på både bankvinkel och flyghastighet

• Vi kan beräkna vinkelhastigheten (svänghastighet) från bankvinkel och flyghastighet

$$ \ omega = \ frac {g \ cdot tan ~ \ theta} {v_H} $$

• Vi kan se upp den vertikala hastigheten från den (bankvinkelkorrigerade) polära kurvan

$$ v_V = \ frac {f (v_H \ cdot \ sqrt {cos ~ \ theta ~~})} {\ sqrt {cos ~ \ theta ~~}} $$

• Vi kan beräkna förhållandet $ \ frac {\ omega} {v_V} $ som frågaren vill maximera för varje flyghastighet och bankvinkel.

Vi har ingen kunskap om polar i analytisk form eller antaganden här.

Korrektur

Låt $ \ theta $, $ a_N $, $ a_H $, $ a_V $ vara bankvinkel, normal, horisontell och vertikal acceleration. Deras relationer är:

$$ a_V = a_N \ cdot cos ~ \ theta $$ $$ a_H = a_N \ cdot sin ~ \ theta $$

med $ a_V = 1g $

$$ a_N = \ frac {1} {cos ~ \ theta} \ cdot 1g $$

$$ a_H = a_N \ cdot sin ~ \ theta = \ frac {sin ~ \ theta} {cos ~ \ teta} \ cdot 1g = g \ cdot tan ~ \ theta $$

Låt $ r $ och $ \ omega $ vara svängradie och vinkelhastighet. Låt $ v_H $ vara airspeed. Den horisontella accelerationen är centripetal acceleration i vår tur, så:

$$ \ frac {v_H ^ 2} {r} = g \ cdot tan ~ \ theta $$

Vinkelhastigheten (svänghastighet) är:

$$ \ omega = \ frac {v_H} {r} = \ frac {g \ cdot tan ~ \ theta} {v_H} $$

Låt $ v_V $ vara sinkfrekvensen som är en funktion $ f $ av flyghastigheten. Funktionen $ f $ ges vanligtvis som polarkurva . För andra belastningsfaktorer än $ 1g $, måste vi skala den med kvadratroten av belastningsfaktorn $ k $.

$$ k = \ frac {1} {\ sqrt {cos ~ \ theta ~~}} $$

$$ v_V = k \ cdot f \ left (\ frac {v_H} {k} \ right) $$

Frågan som frågad är öppen för tolkning, så jag ska först omformulera den för att bygga på. Din sista punkt berättar för mig att du vill veta den optimala bankvinkeln för att få det högsta förhållandet mellan svänghastighet och höjdförlust i en glid vid en given flyghastighet.

Spoiler: Eftersom brantare vinklar kräver mer lyft och flygplan med bättre L / D är mer effektiva vid tillverkning av lyft, beror den optimala banvinkeln på flygets aerodynamiska egenskaper.

Vad ges

• Glider eller drivna flygplan med inoperativ motor. Polären och vikten är kända och ändras inte över tiden.
• Airspeed. Detta kommer att resultera i ett begränsat optimalt - den absolut bästa bankvinkeln kräver lämplig hastighet.

Vad kan ändras

• Bankvinkel $ \ varphi $ (självklart - du ber om detta)
• Lyft upp $ L $ (igen, självklart. Du vill stanna i luften)

Lösning

Först måste jag formulera förhållandet mellan svänghastigheten över höjdförlusten. Detta måste sedan härledas med avseende på bankvinkeln och ställas till noll. För att ha en avledbar polär använder jag den kvadratiska polaren där $ c_D = c_ {D0} \ cdot \ frac {c_L ^ 2} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} $.

Jag antar vidare en samordnad sväng, så vi kan definiera hissen och dra ekvationer. Drag kompenseras genom att välja en lämplig glidvägvinkel $ \ gamma $ för att omvandla potentialen till kinetisk energi för att hålla hastigheten konstant. Vinkelhastigheten $ \ Omega $ i en tur med raden $ R $ är $$ \ Omega = \ frac {v} {R} = \ frac {g \ cdot tan \ varphi} {v} = \ frac {g \ cdot \ sqrt {n_z ^ 2-1}} {v} $$ Höjdförlust över tiden är vertikal hastighet $ v_z $, och detta kan beräknas från hastighet $ v $ och flygvägsvinkel $ \ gamma $: $$ v_z = v \ cdot sin \ gamma $$ Eftersom $ v $ ges och konstant kan vi omformulera problemet som en maximering av svänghastigheten över flygvägsvinkel eller sjunkhastighet. Detta motsvarar den minsta höjdförlusten för en viss azimutförändring. $$ \ frac {\ Omega} {v_z} = \ frac {g \ cdot tan \ varphi} {sin \ gamma} $$

Innan vi härleder detta måste vi uttrycka $ \ gamma $ i form av $ \ varphi $. Om vi hade friheten att justera hastigheten kunde vi direkt lösa den optimala bankvinkeln vid optimal L / D. Nu är dock hastigheten fixad och L / D är vad flygplanet producerar vid den önskade hissen. Eftersom för glidflygplan $ sin \ gamma = \ frac {c_D} {c_L} $ kan vi skriva: $ {c_ {D0} + \ frac {c_L ^ 2} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon}} = \ frac {g \ cdot sin \ varphi \ cdot \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S}} {c_ {D0} \ cdot cos ^ 2 \ varphi + \ frac {\ left {\ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ right) ^ 2} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon}} $$ med $ c_L = \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot s \ cdot cos \ varphi} $. Eftersom det dynamiska trycket $ q $ är konstant kan vi nu härleda med avseende på bankvinkeln. Med kedjeregeln får vi en bråkdel, och eftersom den kommer att ställas in på noll, är det tillräckligt att leta efter tillståndet när täljaren är noll: $ {\ cf {D0} \ cdot cos ^ 2 \ varphi + \ frac {\ left (\ frac) \ cdot \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ cdot \ {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ right) ^ 2} {\ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon}} \ right) = g \ cdot sin \ varphi \ cdot \ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ cdot 2 \ cdot c_ {D0} \ cdot sin \ varphi \ cdot cos \ varphi $$ $$ \ frac {\ left {\ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S} \ right) ^ 2} {c_ {D0} \ cdot \ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} = 2 \ cdot sin ^ 2 \ varphi - cos ^ 2 \ varphi = \ frac {1} {2} - \ frac {3} {2} cos2 \ varphi $$ $$ \ varphi = \ frac {1} {2} \ cdot arccos \ left (\ frac {1} {3} - \ frac {2 \ cdot \ left {\ frac {m \ cdot g} {q \ cdot S } \ right) ^ 2} {3 \ cdot c_ {D0} \ cdot \ pi \ cdot AR \ cdot \ epsilon} \ right) $$ Det ser inte uppenbart fel, men jag kunde mycket väl ha skruvat på vägen till resultatet. Om du kopplar in siffrorna för ett flygplan som du vet kan du kontrollera om resultatet är meningsfullt.

Skulle det matematiska problemet inte se ut så här?

$$ V = L \ cos \ theta $$

$$ H = L \ sin \ theta $$

$$ R_S = k_1 (W - V) $$

$$ R_T = k_2 H $$

Maximera $ R_T / R_S $ med avseende på $ \ theta $ given konstant $ L, k_1, k_2, W $

Notation:

• $ \ theta $ är bankvinkel
• $ L $ är Lift
• $ H, V $ är horisontella & Vertikala komponenter av lift
• $ W $ är vikt
• $ R_S $ är Sänkfrekvens
• $ R_T $ är svängfrekvens
• $ k_1, k_2 $ är positiva konstanter

Matematiken:

$ R_T / R_S $ utvärderas till

$$ \ frac {\ frac {k_2 L} {k_1} \ sin \ theta} {W - L \ sin \ theta} $$

Maximera detta uttryck med avseende på $ \ theta $.

PS. När jag gör matte får jag $ \ theta $ som maximerar svänghastigheten per sänkhastighet som 90 graders bankvinkel.

Det är uppenbart att jag antingen stöter på min matte eller min modell. Jag måste vara fel. Kanske var min blunder att ta hissen $ L $ som en konstant? Jag antar att $ L $ kommer att förändras med banken också?

Jag antar också att stallkaraktärerna bör betyda? Kanske den ytterligare begränsningen skulle säga banken i max vinkel som inte kommer att hänga dig?

PS. Detta är precis bakom kuvertuppskattningen. Jag är nog naiv genom att inte överväga problemets komplexitet.

Jag lägger till ett annat svar som ser alldeles för förenklat ut, men jag kan inte upptäcka varför det är fel.

Här går:

Termen vi vill maximera är "minsta höjdförlust för en given azimutförändring" & Detta kan visas som följande lån @PeterKampfs logik:

$$ \ frac {\ omega} {v_z} = \ frac {1} {R * sin \ phi} $$

där $ \ phi $ är glidvinkeln.

Eftersom glidvinkeln är känd måste du minimera $ R $ för att maximera termen "minsta höjdförlust för en given azimutförändring". Men $$ R = \ frac {v ^ 2} {g * tan \ theta} $$

Så att minimera R maximera $ tan \ theta $ & därigenom maximera $ \ theta $. Så jag kan rekommendera banken så mycket som möjligt.

Men det finns en ytterligare begränsning införd av det faktum att du inte får stanna (självklart). Du måste använda maximalt $ \ theta $ men inte över $ \ theta_ {stall} $

Låt un-banked stall hastigheten vara $ v_ {stall} $. Under en bankad tur på $ \ theta $ ökar stallhastigheten till:

$$ V_ {stall} ^ {banked} = V_ {stall} * \ sqrt {n} $$

där $ n $ är belastningsfaktorn.

$$ n = \ frac {L} {mg} = \ frac {1} {cos \ theta} $$

Därför är det i en bankad tur på $ \ theta $: stallhastigheten:

$$ v_ {stall} ^ {banked} = \ frac {v_ {stall}} {\ sqrt {cos \ theta}} $$

Därför skulle den maximala vinkeln på banken vara den du borde använda och det blir:

$$ \ theta = arccos \ left (\ left (\ frac {v_ {stall}} {v} \ höger) ^ 2 \ höger) $$