Den femte upplagan av D & D har kommit tillbaka till begreppet småfester, i motsats till att kunna ha en armé av minions, husdjur, familjärer och odödliga varelser.
Därför finns det ingen regel för att vända djur till allierade, så vitt jag vet, just nu. Du kan lugna dem ner med Hantering Djur och du kan bli vän med dem med trollformler som Tala med Djur, men det finns inget sätt att göra det till en följeslagare.
Det finns några klassmekanik som låter dig få en följeslagare. Närmast vad jag tror är Ranger djurkompanjon i Beast Master-vägen vid 3: e lvl. Trollkarlarna har också stavningen Find Familiar, vilket skulle vara likartat.
Även för fästen, så långt jag vet (och jag har snabbt kontrollerat PHB och DMG) finns det inget officiellt sätt att tämja dem, du köper bara dem som redan tämjer eller mottar det som en belöning / gåva / något.
Har inga officiella regler för det hindrar dig inte (som en DM) att göra dem, eller du (som spelare) pratar med din DM och kontrollerar vad du kan göra. Kanske vill du bara ha en sällskapsdjur som går tillsammans med dig för smak, men är helt irrelevant kamp-wise (han är för rädd för att slåss, kanske?) Eller en husdjursmus (det är egentligen ett startobjekt för vissa bakgrunder). Kanske ens en kämpande följeslagare blir inte så illa om karaktären ger tillräckligt med ansträngning och DM tycker att det kan fungera.
TL; DR: Det finns inga officiella medel. Om du är en spelare och vill ha en djurvän, prata med din DM och säg exakt vad du sa här (du tyckte det var intressant och vill veta om och hur du kan göra det)